Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x-1){n}}{\left(2+(-1){n}\right)^{n}} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x-1){n}}{\left(2+(-1){n}\right)^{n}} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série de potências e (2) encontrar o intervalo de convergência (ou seja, verificar também os extremos). A série dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Centro da série:
(pois os termos são em ). - Coeficientes da série (ou seja, os
na forma ) são
- A fórmula a ser usada para o raio é
- Depois de encontrar
, o intervalo inicial de convergência será ; é preciso verificar convergência nos pontos e .
Passo 2
Vamos entender a fórmula que vamos usar e como aplicá-la passo a passo.
Explicação do conceito usado:
- A expressão
é simplesmente a raiz enésima do valor absoluto do coeficiente . - O
(limite superior) de uma sequência é o maior valor limite de subsequências — na prática, quando tem dois (ou mais) limites de subsequência diferentes, o pega o maior deles. Para séries com comportamento periódico nos coeficientes (como aqui, que depende da paridade de ), normalmente calculamos os limites das subsequências e tomamos o maior. - Depois de obter
, invertemos para obter pela fórmula acima.
Passo 3
Analisemos os coeficientes separando os índices pares e ímpares (isso é natural porque
depende da paridade de
).
Calcule
:
- Se
é par, digamos , então e . - Se
é ímpar, digamos , então e .
Portanto os coeficientes ficam:
Passo 4
Calculemos agora
para cada tipo (pares e ímpares) e o
.
Para
(par):
Para
(ímpar):
Essas duas subsequências têm limites constantes
e
. Logo
Passo 5
Aplicando a fórmula do raio:
Portanto o raio de convergência é
.
O intervalo centrado em
com raio
é inicialmente
. Agora precisamos verificar os extremos
e
.
Passo 6
Verificação do extremo
.
Substituindo
na série, temos
. Assim a série torna-se
Novamente separamos pares e ímpares:
- Para
(par): o termo vale (pois e na base também). - Para
(ímpar): o termo vale (pois e o denominador é ).
Portanto a sequência de termos da série contém termos iguais a
para todos os índices ímpares. Como um requisito necessário para a convergência de uma série é que os termos tendam a zero, e aqui os termos ímpares não tendem a zero (são
), a série diverge em
pelo teste do termo geral (teste da condição necessária).
Passo 7
Verificação do extremo
.
Substituindo
, temos
. A série fica
De novo:
- Para
(par): termo (pequeno). - Para
(ímpar): termo (pois denominador é ).
Os termos ímpares são iguais a
, portanto os termos da série não tendem a zero e, pelo mesmo teste do termo geral, a série diverge em
.
Passo 8
Conclusão sobre o intervalo: como a série converge para
(raio
) e diverge em ambos os extremos
e
, o intervalo de convergência é o intervalo aberto
.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: