Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x-1){n}}{\left(2+(-1){n}\right)^{n}} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série de potências e (2) encontrar o intervalo de convergência (ou seja, verificar também os extremos). A série dada é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{\left(2+(-1)^{n}\right)^{n}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Centro da série: 1 (pois os termos são em (x-1)^{n}).
  • Coeficientes da série (ou seja, os a_{n} na forma \sum a_n (x-1)^n) são
a_n=\frac{1}{\left(2+(-1)^{n}\right)^{n}}.
  • A fórmula a ser usada para o raio é
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
  • Depois de encontrar R, o intervalo inicial de convergência será (1-R,\,1+R); é preciso verificar convergência nos pontos x=1-R e x=1+R.

Passo 2

Vamos entender a fórmula que vamos usar e como aplicá-la passo a passo.
Explicação do conceito usado:
  • A expressão \sqrt[n]{|a_n|} é simplesmente a raiz enésima do valor absoluto do coeficiente a_n.
  • O \limsup_{n\to\infty} (limite superior) de uma sequência é o maior valor limite de subsequências — na prática, quando \sqrt[n]{|a_n|} tem dois (ou mais) limites de subsequência diferentes, o \limsup pega o maior deles. Para séries com comportamento periódico nos coeficientes (como aqui, que depende da paridade de n), normalmente calculamos os limites das subsequências e tomamos o maior.
  • Depois de obter \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}, invertemos para obter R pela fórmula acima.

Passo 3

Analisemos os coeficientes separando os índices pares e ímpares (isso é natural porque 2+(-1)^n depende da paridade de n).
Calcule 2+(-1)^n:
  • Se n é par, digamos n=2k, então (-1)^{2k}=1 e 2+(-1)^{2k}=3.
  • Se n é ímpar, digamos n=2k+1, então (-1)^{2k+1}=-1 e 2+(-1)^{2k+1}=1.
Portanto os coeficientes ficam:
a_{2k}=\frac{1}{3^{2k}},\qquad a_{2k+1}=\frac{1}{1^{2k+1}}=1.

Passo 4

Calculemos agora \sqrt[n]{|a_n|} para cada tipo (pares e ímpares) e o \limsup.
Para n=2k (par):
\sqrt[2k]{|a_{2k}|}=\sqrt[2k]{\frac{1}{3^{2k}}}=\frac{1}{3}.
Para n=2k+1 (ímpar):
\sqrt[2k+1]{|a_{2k+1}|}=\sqrt[2k+1]{1}=1.
Essas duas subsequências têm limites constantes \frac{1}{3} e 1. Logo
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\max\!\left(\frac{1}{3},\,1\right)=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula do raio:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{1}=1.
Portanto o raio de convergência é \,1.
O intervalo centrado em 1 com raio \,1 é inicialmente (1-1,\,1+1)=(0,2). Agora precisamos verificar os extremos x=0 e x=2.

Passo 6

Verificação do extremo x=0.
Substituindo x=0 na série, temos (x-1)^n=(0-1)^n=(-1)^n. Assim a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\left(2+(-1)^{n}\right)^{n}}.
Novamente separamos pares e ímpares:
  • Para n=2k (par): o termo vale \dfrac{1}{3^{2k}} (pois (-1)^{2k}=1 e (-1)^{2k}=1 na base também).
  • Para n=2k+1 (ímpar): o termo vale -1 (pois (-1)^{2k+1}=-1 e o denominador é 1).
Portanto a sequência de termos da série contém termos iguais a -1 para todos os índices ímpares. Como um requisito necessário para a convergência de uma série é que os termos tendam a zero, e aqui os termos ímpares não tendem a zero (são -1), a série diverge em x=0 pelo teste do termo geral (teste da condição necessária).

Passo 7

Verificação do extremo x=2.
Substituindo x=2, temos (x-1)^n=(2-1)^n=1. A série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2+(-1)^{n}\right)^{n}}.
De novo:
  • Para n=2k (par): termo \dfrac{1}{3^{2k}} (pequeno).
  • Para n=2k+1 (ímpar): termo 1 (pois denominador é 1).
Os termos ímpares são iguais a 1, portanto os termos da série não tendem a zero e, pelo mesmo teste do termo geral, a série diverge em x=2.

Passo 8

Conclusão sobre o intervalo: como a série converge para |x-1|<1 (raio \,1) e diverge em ambos os extremos x=0 e x=2, o intervalo de convergência é o intervalo aberto (0,2).

Resposta

Raio de convergência: 1
Intervalo de convergência: (0,2)

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