Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n} x^{n}; (2) determinar o intervalo de convergência (ou seja, todos os x reais para os quais a série converge).\n
As informações que temos do enunciado são os termos gerais da série: para cada n o coeficiente de x^{n} é \left(\dfrac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n}.

Passo 2

Vamos selecionar um método adequado para achar o raio: quando o coeficiente geral da série tem a forma a_n x^n com a_n positivos (ou em módulo), o teste da raiz é muito conveniente. O teste da raiz diz que o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui a_n=\left(\dfrac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n}. Vou explicar o porquê desta fórmula e o que significa cada parte: \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do módulo do coeficiente; o \limsup é o limite superior assintótico (quando o limite usual existe, o \limsup coincide com ele). A razão é que a série se comporta como uma série geométrica assintoticamente, então esse valor controla onde a série converge.

Passo 3

Calcular \sqrt[n]{|a_n|} para nosso a_n. Como a_n\ge 0, temos
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n}}=\frac{3 n+2}{5 n+7}.
Agora precisamos do limite quando n\to\infty dessa razão. Para uma razão racional do tipo \dfrac{an+ b}{cn+d} com a,c\neq0, o limite quando n\to\infty é \dfrac{a}{c} (porque os termos de maior ordem dominam). Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{3 n+2}{5 n+7}=\frac{3}{5}.
Como o limite existe, o \limsup é o mesmo: \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{3}{5}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do raio:
R=\frac{1}{\displaystyle\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}.
Interpretação intuitiva: para valores de x com |x|<5/3 a série converge absolutamente; para |x|>5/3 diverge. Ainda precisamos estudar o comportamento exatamente nos pontos |x|=5/3.

Passo 5

Convergência para |x|<R e divergência para |x|>R já estão garantidas pelo teste da raiz (ou pela comparação com uma geométrica assintótica). Vou agora examinar os pontos extremos x=5/3 e x=-5/3 separadamente, porque nesses pontos o teste da raiz só dá |x|=R e não decide a convergência.

Passo 6

Estudo do endpoint x=\dfrac{5}{3}. Substituindo, o termo geral da série vira
\left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n}\left(\frac{5}{3}\right)^{n} = \left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\cdot\frac{5}{3}\right)^{n} = \left(\frac{15 n+10}{15 n+21}\right)^{n}.
Vamos simplificar a fração dentro da potência:
\frac{15 n+10}{15 n+21}=1-\frac{11}{15 n+21}.
Então o termo geral é \left(1-\dfrac{11}{15 n+21}\right)^{n}. Para decidir se a série \sum \left(1-\dfrac{11}{15 n+21}\right)^{n} converge, o primeiro teste é verificar se os termos vão para zero: uma série só pode convergir se seus termos individuais tendem a zero. Calculemos o limite dos termos:
usemos a identidade conveniente \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{u_n}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\lim_{n\to\infty}u_n} sempre que \lim u_n exista; aqui precisamos manipular a expressão para usar a exponencial via logaritmo. Tomando logaritmo:
\ln\!\left(\left(1-\frac{11}{15 n+21}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1-\frac{11}{15 n+21}\right).
Para u pequeno, \ln(1+u)=u+o(u). Com u=-\dfrac{11}{15 n+21} temos
n\ln\!\left(1-\frac{11}{15 n+21}\right) \sim n\left(-\frac{11}{15 n+21}\right) \longrightarrow -\frac{11}{15} \quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{11}{15 n+21}\right)^{n} =\mathrm{e}^{-11/15}\neq 0.
Como os termos não tendem a zero (tendem a \mathrm{e}^{-11/15}), a série em x=\dfrac{5}{3} diverge pelo teste do termo geral.

Passo 7

Estudo do endpoint x=-\dfrac{5}{3}. Substituindo, obtemos
\left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n}\left(-\frac{5}{3}\right)^{n} = \left(-\frac{15 n+10}{15 n+21}\right)^{n} = (-1)^{n}\left(\frac{15 n+10}{15 n+21}\right)^{n}.
Em módulo é exatamente o mesmo que no caso anterior: \left(\dfrac{15 n+10}{15 n+21}\right)^{n}=\left(1-\dfrac{11}{15 n+21}\right)^{n}, cujo limite em módulo é \mathrm{e}^{-11/15}\neq0. Assim os termos não tendem a zero (eles oscilam entre sinais, mas com módulo tendendo a uma constante positiva), então a série também diverge pelo teste do termo geral.

Passo 8

Conclusão final sobre o intervalo: a série converge absolutamente para todos os x tais que |x|<\dfrac{5}{3} e diverge para todos os x com |x|\ge \dfrac{5}{3}. Ou seja, o intervalo de convergência é o intervalo aberto \left(-\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right).

Resposta

Raio de convergência: \dfrac{5}{3}\n
Intervalo de convergência: \left(-\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right)

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