Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n} x^{n}
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série de potências
; (2) determinar o intervalo de convergência (ou seja, todos os
reais para os quais a série converge).\n
As informações que temos do enunciado são os termos gerais da série: para cada o coeficiente de
é
.
As informações que temos do enunciado são os termos gerais da série: para cada
Passo 2
Vamos selecionar um método adequado para achar o raio: quando o coeficiente geral da série tem a forma
com
positivos (ou em módulo), o teste da raiz é muito conveniente. O teste da raiz diz que o raio de convergência
é dado por
Aqui
. Vou explicar o porquê desta fórmula e o que significa cada parte:
é a raiz
-ésima do módulo do coeficiente; o
é o limite superior assintótico (quando o limite usual existe, o
coincide com ele). A razão é que a série se comporta como uma série geométrica assintoticamente, então esse valor controla onde a série converge.
Passo 3
Calcular
para nosso
. Como
, temos
Agora precisamos do limite quando
dessa razão. Para uma razão racional do tipo
com
, o limite quando
é
(porque os termos de maior ordem dominam). Portanto
Como o limite existe, o
é o mesmo:
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do raio:
Interpretação intuitiva: para valores de
com
a série converge absolutamente; para
diverge. Ainda precisamos estudar o comportamento exatamente nos pontos
.
Passo 5
Convergência para
e divergência para
já estão garantidas pelo teste da raiz (ou pela comparação com uma geométrica assintótica). Vou agora examinar os pontos extremos
e
separadamente, porque nesses pontos o teste da raiz só dá
e não decide a convergência.
Passo 6
Estudo do endpoint
. Substituindo, o termo geral da série vira
Vamos simplificar a fração dentro da potência:
Então o termo geral é
. Para decidir se a série
converge, o primeiro teste é verificar se os termos vão para zero: uma série só pode convergir se seus termos individuais tendem a zero. Calculemos o limite dos termos:
usemos a identidade conveniente sempre que
exista; aqui precisamos manipular a expressão para usar a exponencial via logaritmo. Tomando logaritmo:
usemos a identidade conveniente
Para
pequeno,
. Com
temos
Portanto
Como os termos não tendem a zero (tendem a
), a série em
diverge pelo teste do termo geral.
Passo 7
Estudo do endpoint
. Substituindo, obtemos
Em módulo é exatamente o mesmo que no caso anterior:
, cujo limite em módulo é
. Assim os termos não tendem a zero (eles oscilam entre sinais, mas com módulo tendendo a uma constante positiva), então a série também diverge pelo teste do termo geral.
Passo 8
Conclusão final sobre o intervalo: a série converge absolutamente para todos os
tais que
e diverge para todos os
com
. Ou seja, o intervalo de convergência é o intervalo aberto
.
Resposta
Raio de convergência:
\n
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: