Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=0}{+\infty}\left(\frac{2{n}+3}{3{n}+2}\right)(x+3){n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) determinar o raio de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2^{n}+3}{3^{n}+2}\right)(x+3)^{n}; (b) determinar o intervalo de convergência (no eixo real) dessa mesma série.
Informações dadas que vamos usar: a série é centrada em -3 (pois aparece (x+3)^{n}) e os coeficientes em frente a (x+3)^{n} são
a_{n}=\frac{2^{n}+3}{3^{n}+2}.
Não vou resolver nada ainda aqui; só listei o que o problema pede e o que foi dado.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): para uma série de potências centrada em c,
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-c)^{n},
o raio de convergência R pode ser obtido por uma das fórmulas equivalentes (quando existem os limites):
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}} \quad\text{ou, se existir,}\quad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}.
O que essas fórmulas dizem, em palavras simples, é: o comportamento exponencial (ordem) dos coeficientes a_{n} determina até que distância em x a série ainda converge. Exemplo rápido e intuitivo: para a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}y^{n} temos a_{n}=1, \sqrt[n]{|a_{n}|}=1, então R=1 (conhecido), ou seja, converge para |y|<1.

Passo 3

Aplicando a ideia do teste da raiz aos nossos coeficientes a_{n}=\dfrac{2^{n}+3}{3^{n}+2}. Vou calcular
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{n}+3}{3^{n}+2}\right)^{1/n}.
Fatoro potências dominantes em numerador e denominador:
\left(\frac{2^{n}+3}{3^{n}+2}\right)^{1/n} =\left(\frac{2^{n}\bigl(1+3/2^{n}\bigr)}{3^{n}\bigl(1+2/3^{n}\bigr)}\right)^{1/n} =\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot\frac{1+3/2^{n}}{1+2/3^{n}}\right)^{1/n}.
Agora uso propriedades de potências:
\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot\frac{1+3/2^{n}}{1+2/3^{n}}\right)^{1/n} =\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{1+3/2^{n}}{1+2/3^{n}}\right)^{1/n}.
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+3/2^{n}}{1+2/3^{n}}=1, a potência enésima dessa fração tende a 1. Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=\frac{2}{3}.

Passo 4

Usando a fórmula do raio com o resultado do passo anterior:
R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}.
Portanto o raio de convergência da série é \displaystyle R=\frac{3}{2}. (Intuição: os coeficientes comportam-se como (2/3)^{n} para n grande, então a série age como uma geométrica em (x+3) com razão efetiva (2/3)(x+3).)

Passo 5

Agora determinamos o intervalo de convergência no eixo real. A série é centrada em c=-3, portanto a região onde a série converge absolutamente é
\{x\in\mathbb{R} \mid |x+3|<R\}=\left(-3-R,\,-3+R\right).
Substituindo R=\dfrac{3}{2} obtemos o intervalo aberto
\left(-3-\frac{3}{2},\,-3+\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{9}{2},\,-\frac{3}{2}\right).
Ainda falta verificar o comportamento exatamente nos pontos extremos x=-\dfrac{9}{2} e x=-\dfrac{3}{2} (os extremos podem ou não pertencer ao intervalo).

Passo 6

Verificação do extremo direito x=-\dfrac{3}{2}. Neste ponto temos y=x+3=\dfrac{3}{2}. O termo geral da série fica
t_{n}=a_{n}y^{n}=\frac{2^{n}+3}{3^{n}+2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}.
Simplifico multiplicando \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n} por 2^{n}:
t_{n}=\frac{3^{n}+3\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{3^{n}+2} =\frac{3^{n}}{3^{n}+2}+\frac{3\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{3^{n}+2}.
Agora passo ao limite quando n\to\infty: a primeira parcela \dfrac{3^{n}}{3^{n}+2}\to 1; a segunda parcela tem ordem \dfrac{(3/2)^{n}}{3^{n}}=(1/2)^{n} e tende a 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} t_{n}=1\neq 0.
Pelo teste da divergência (se os termos gerais não tendem a zero, a série diverge), concluímos que a série diverge em x=-\dfrac{3}{2}. Assim este extremo não pertence ao intervalo.

Passo 7

Verificação do extremo esquerdo x=-\dfrac{9}{2}. Neste ponto y=x+3=-\dfrac{3}{2}. O termo geral é
t_{n}=a_{n}\left(-\frac{3}{2}\right)^{n} =\frac{2^{n}+3}{3^{n}+2}\left(-\frac{3}{2}\right)^{n}.
Multiplicando como antes:
t_{n}=\frac{(-3)^{n}+3\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{3^{n}+2} =\frac{(-1)^{n}3^{n}}{3^{n}+2}+\frac{3\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n}}{3^{n}+2}.
Ao passar ao limite n\to\infty: a primeira parcela tende para (-1)^{n} em módulo aproximado a 1 (mais precisamente \dfrac{(-1)^{n}3^{n}}{3^{n}+2}\to(-1)^{n}), ou seja, não tem limite e não tende a 0; a segunda parcela tende a 0. Assim \{t_{n}\} não tende a 0 (oscila entre valores próximos de \pm 1), e a série também diverge em x=-\dfrac{9}{2} pelo teste da divergência. Logo este extremo também não pertence ao intervalo.

Passo 8

Conclusão final combinando tudo: o raio de convergência é \displaystyle \frac{3}{2} e o intervalo de convergência (no eixo real) é o intervalo aberto \displaystyle \left(-\frac{9}{2},-\frac{3}{2}\right) (ambos os extremos foram rejeitados).

Resposta

Raio de convergência: \displaystyle \frac{3}{2}
Intervalo de convergência: \displaystyle \left(-\frac{9}{2},-\frac{3}{2}\right)

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