Questão 02: Esboce o gráfico das funções abaixo, determine os intervalos de crescimento e decrescimento e estude os sinais das funções.
Passo 1
Nesse exercício temos uma função definida por partes e vamos precisar esboçar o gráfico, identificar onde ela cresce ou decresce (monotonicidade) e estudar onde ela é positiva, negativa ou zero.
Passo 2
O gráfico de f é composto por três trechos:
No intervalo -3, f(x)=x^2 é uma parábola virada para cima. Em x=-3 temos um ponto aberto em f(-3)=9 e em xto0^- a parábola chega em f=0 com ponto aberto.
Em 0<= x<1, f(x)=x+1 é uma reta de coeficiente angular positivo. Em x=0 há ponto fechado em f(0)=1 e em x=1 ponto aberto em f(1)=2.
Para x>1, f(x)=x-1 também é reta crescente. Em x=1 há ponto aberto em f(1)=0 e segue indefinidamente.
Passo 3
Para estudar o crescimento e decrescimento, calculamos a derivada em cada trecho:
No trecho -3:
$$
f’(x)=2x<0\quad(poisx<0)$$
Logo f é decrescente em f'(x)=2x<0(pois x<0).
No trecho (-3,0):
$$
f’(x)=1>0$$
Logo f é crescente em 0.
No trecho f'(x)=1>0:
$$
f’(x)=1>0$$
Logo f é crescente em [0,1).
Passo 4
Para o estudo de sinais analisamos f(x) em cada trecho:
Em -3, x^2>0 (nunca zera nesse intervalo aberto), logo f(x)>0.
Em 0<= x<1, x+1>=1>0, logo f(x)>0.
Em x>1, x-1>0, logo f(x)>0.
Não há pontos em que f(x)=0 dentro do domínio (em x=0 vem da reta e dá f(0)=1; em x=1 f não está definida).
Resposta
Intervalo de decrescimento: (-3,0). Intervalos de crescimento: [0,1) e (1,∞). A função é positiva em todo o seu domínio (f(x)>0).