QUESTÃO 02 : Justificando, avalie os limites.
(i) \lim _{x \rightarrow-\frac{\pi}{2}}|\operatorname{sen} x|.

Passo 1

O enunciado pede que se avalie o limite
\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \left|\operatorname{sen} x\right|.
Informações dadas:
  • A função considerada é x\mapsto \left|\operatorname{sen} x\right|.
  • O ponto de interesse é x=-\dfrac{\pi}{2}.
  • Não há outras restrições nem imagens.

Passo 2

Entender o que é o valor absoluto e uma propriedade útil sobre ele.
Definição (valor absoluto): para todo número real u\), \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Propriedade importante (continuidade do módulo): para quaisquer u,v\in\mathbb{R}\] vale a desigualdade \[\big||u|-|v|\big|\le |u-v|.\] Essa desigualdade vem da desigualdade triangular e mostra que, se \(v se aproxima de u então |v| se aproxima de |u|. Em outras palavras, a função u\mapsto |u| é contínua em todo número real.]

Passo 3

Lembrar a propriedade de continuidade da função seno.
A função x\mapsto \operatorname{sen} x é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Isso significa que
\lim_{x\to a} \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} a
para qualquer a. Em particular, vale
\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{2}\right).

Passo 4

Usar a continuidade por composição.
Temos duas funções contínuas: x\mapsto \operatorname{sen} x e u\mapsto |u|. A composição de funções contínuas é contínua. Logo a função
x\mapsto \left|\operatorname{sen} x\right|
é contínua em todo x, inclusive em x=-\dfrac{\pi}{2}. Portanto o limite pedido pode ser obtido por substituição direta:
\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \left|\operatorname{sen} x\right| = \left|\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right|.

Passo 5

Calcular \operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right).
Pelo círculo trigonométrico, o ângulo -\dfrac{\pi}{2} corresponde ao ponto (0,-1), portanto
\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1.

Passo 6

Aplicar o valor absoluto ao resultado e concluir o limite.
Com \operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1 e usando o módulo, obtemos
\left|\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right| = |-1| = 1.
Pelo passo anterior da continuidade/composição, esse é exatamente o valor do limite.

Resposta

\,1

Exercícios relacionados