A função considerada é x\mapsto \left|\operatorname{sen} x\right|.
O ponto de interesse é x=-\dfrac{\pi}{2}.
Não há outras restrições nem imagens.
Passo 2
Entender o que é o valor absoluto e uma propriedade útil sobre ele.
Definição (valor absoluto): para todo número real u\),
\[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Propriedade importante (continuidade do módulo): para quaisquer u,v\in\mathbb{R}\] vale a desigualdade
\[\big||u|-|v|\big|\le |u-v|.\]
Essa desigualdade vem da desigualdade triangular e mostra que, se \(v se aproxima de u então |v| se aproxima de |u|. Em outras palavras, a função u\mapsto |u| é contínua em todo número real.]
Passo 3
Lembrar a propriedade de continuidade da função seno.
A função x\mapsto \operatorname{sen} x é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Isso significa que
\lim_{x\to a} \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} a
para qualquer a. Em particular, vale
\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{2}\right).
Passo 4
Usar a continuidade por composição.
Temos duas funções contínuas: x\mapsto \operatorname{sen} x e u\mapsto |u|. A composição de funções contínuas é contínua. Logo a função
x\mapsto \left|\operatorname{sen} x\right|
é contínua em todo x, inclusive em x=-\dfrac{\pi}{2}. Portanto o limite pedido pode ser obtido por substituição direta: