Questão Um apostador decide participar de um jogo em que o mesmo paga 1,50 ç\mathrm{R} $1,00 çX$ o saldo do jogador ao final dos 3 lançamentos da moeda. Então:
a) Obtenha a função de probabilidade de
b) Qual a probabilidade de que o jogador finalize o jogo com saldo positivo?

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que o jogador paga R$ 1,50 para lançar uma moeda três vezes e recebe R$ 1,00 por cada cara obtida. Definimos a variável aleatória X como o saldo líquido do jogador após os 3 lançamentos. Para resolver, vamos (1) relacionar o número de caras com o valor de X, (2) usar a distribuição binomial para o número de caras e (3) transformar isso na função de probabilidade de X e calcular a probabilidade de X>0.

Passo 2

Seja K o número de caras em 3 lançamentos. Então KsimBin(n=3,p=1/2) e o saldo é
X = 1,00cdot K ;-;1,50 ;=; K - 1,50
Assim os valores possíveis de X correspondem a K=0,1,2,3, ou seja
Xin-1,50,,-0,50,,0,50,,1,50

Passo 3

A probabilidade de obter exatamente k caras é dada pela binomial:
Pr(K=k)=binom3kl(tfrac12r)^3=binom3k8, k=0,1,2,3

Passo 4

Convertendo para X, temos a função de probabilidade
PX(x)= tfrac18, & x=-1,50, tfrac38, & x=-0,50, tfrac38, & x=0,50, tfrac18, & x=1,50, 0, & caso contrário á

Passo 5

Queremos Pr(X>0). Isso equivale a K-1,50>0, ou seja K>=2. Logo
Pr(X>0)=Pr(K=2)+Pr(K=3) =38+18 =12

Resposta

a)
PX(x)= tfrac18, & x=-1,50, tfrac38, & x=-0,50, tfrac38, & x=0,50, tfrac18, & x=1,50, 0, & caso contrário á
b) tfrac12.

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