Uma base para esse sistema é |0\rangle e |1\rangle;
(a) Encontre os autovalores e autovetores de H, e expresse os autovetores em termos de |0\rangle,|1\rangle.
Passo 1
O enunciado dá a Hamiltoniana e pede os autovalores e autovetores expressos na base |0\rangle,|1\rangle. Informações relevantes que tenho:
A base do sistema é |0\rangle e |1\rangle. Vou assumir que essa base é ortonormal (isto é, \langle 0|0\rangle=\langle 1|1\rangle=1 e \langle 0|1\rangle=0), que é o caso usual para um qubit / spin 1/2.
O que se pede: (a) encontrar os autovalores \lambda de H e os autovetores associados, escrevendo cada autovetor como combinação linear de |0\rangle e |1\rangle.]
Passo 2
Calculando o polinômio característico para obter os autovalores. Para uma matriz 2\times2 a condição é \det(H-\lambda I)=0. Escrevo H-\lambda I:
e satisfazem H|\psi_{\pm}\rangle=\lambda_{\pm}|\psi_{\pm}\rangle (pode-se multiplicar explicitamente a matriz H pelos vetores coluna correspondentes para checar). Tudo consistente.