QUESTÃO 02: O número 12285 é um elemento de um par de números amigáveis. Descubra o outro número desse par.
Passo 1
O enunciado diz que o número
é elemento de um par de números amigáveis e pede que se descubra o outro número desse par.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número conhecido é
. - Precisamos encontrar o número
tal que e formem um par de números amigáveis (ou seja, a soma dos divisores próprios de cada um é igual ao outro).
Passo 2
O que significa “números amigáveis” (explicação didática):
Dois inteiros positivos e
são chamados amigáveis se a soma dos divisores próprios de
for
e a soma dos divisores próprios de
for
.
Dois inteiros positivos
- “Divisores próprios” de um número
são todos os divisores de menores que (isto é, exclui-se em si). - Uma forma prática de calcular a soma dos divisores próprios é usar a função soma dos divisores
, que soma todos os divisores (incluindo ). Então a soma dos divisores próprios é .
Fórmula útil (explicada):
Se tem fatoração em primos
Se
então a soma de todos os divisores (função
) é
Por que isso funciona (intuição): para cada primo
, os expoentes possíveis nos divisores vão de
a
, somando uma progressão geométrica
. Multiplicando as escolhas independentes para cada primo obtém-se a soma de todos os divisores.
Passo 3
Primeiro passo prático: fatorar
. Vou fatorar por divisão simples, mostrando cada etapa:
-
termina em , logo é divisível por . - Agora fatorar
. Soma dos dígitos de é , múltiplo de , então é divisível por . - Repetir: soma dos dígitos de
é , divisível por : - Novamente:
tem soma , divisível por : - Finalmente
.
Juntando tudo:
Portanto a fatoração prima é
Passo 4
Calcular
usando a fórmula do passo 2. Para cada primo:
- Para
: - Para
(que é ): - Para
: - Para
:
Multiplicando:
Calcular passo a passo:
Logo
A soma dos divisores próprios de
é
Portanto o candidato para o número amigável par de
é
.
Passo 5
Agora precisamos verificar a condição recíproca: a soma dos divisores próprios de
deve ser
. Primeiro fatorar
.
Fatoração de
:
- Termina em
, divisível por : - Soma dos dígitos de
é , divisível por : - Testar
: tentar divisões por primos pequenos. exatamente, porque . E é primo.
Portanto
Ou seja,
.
Passo 6
Calcular
e mostrar que a soma dos divisores próprios é
.
Calcular
por primos:
-
. -
(já calculado antes). -
. -
(pois é primo).
Multiplicar:
Calcular:
Assim
Logo a soma dos divisores próprios de
é
Isso confirma que a soma dos divisores próprios de
é
, e portanto
e
formam um par de números amigáveis.
Passo 7
Conclusão final: o outro número do par amigável que contém
é
. Foi verificado que a soma dos divisores próprios de
é
e a soma dos divisores próprios de
é
, satisfazendo a definição de números amigáveis.