QUESTÃO 02: O número 12285 é um elemento de um par de números amigáveis. Descubra o outro número desse par.

Passo 1

O enunciado diz que o número 12285 é elemento de um par de números amigáveis e pede que se descubra o outro número desse par.
Informações dadas:
  • O número conhecido é 12285.
  • Precisamos encontrar o número m tal que 12285 e m formem um par de números amigáveis (ou seja, a soma dos divisores próprios de cada um é igual ao outro).

Passo 2

O que significa “números amigáveis” (explicação didática):
Dois inteiros positivos a e b são chamados amigáveis se a soma dos divisores próprios de a for b e a soma dos divisores próprios de b for a.
  • “Divisores próprios” de um número n são todos os divisores de n menores que n (isto é, exclui-se n em si).
  • Uma forma prática de calcular a soma dos divisores próprios é usar a função soma dos divisores \sigma(n), que soma todos os divisores (incluindo n). Então a soma dos divisores próprios é \sigma(n)-n.
Fórmula útil (explicada):
Se n tem fatoração em primos
n=\prod_{i} p_i^{a_i},
então a soma de todos os divisores (função \sigma) é
\sigma(n)=\prod_{i}\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}.
Por que isso funciona (intuição): para cada primo p_i, os expoentes possíveis nos divisores vão de 0 a a_i, somando uma progressão geométrica 1+p_i+\cdots+p_i^{a_i}=\dfrac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}. Multiplicando as escolhas independentes para cada primo obtém-se a soma de todos os divisores.

Passo 3

Primeiro passo prático: fatorar 12285. Vou fatorar por divisão simples, mostrando cada etapa:
  • 12285 termina em 5, logo é divisível por 5. 12285 \div 5 = 2457.
  • Agora fatorar 2457. Soma dos dígitos de 2457 é 2+4+5+7=18, múltiplo de 3, então 2457 é divisível por 3. 2457 \div 3 = 819.
  • Repetir: soma dos dígitos de 819 é 8+1+9=18, divisível por 3: 819 \div 3 = 273.
  • Novamente: 273 tem soma 2+7+3=12, divisível por 3: 273 \div 3 = 91.
  • Finalmente 91 = 7 \times 13.
Juntando tudo:
12285 = 5 \times 2457 = 5 \times 3 \times 819 = 5 \times 3^2 \times 273 = 5 \times 3^3 \times 91 = 3^3 \times 5 \times 7 \times 13.
Portanto a fatoração prima é
12285 = 3^3\cdot5\cdot7\cdot13.

Passo 4

Calcular \sigma(12285) usando a fórmula do passo 2. Para cada primo:
  • Para 3^3: \sigma(3^3)=\frac{3^{3+1}-1}{3-1}=\frac{3^4-1}{2}=\frac{81-1}{2}=\frac{80}{2}=40.
  • Para 5 (que é 5^1): \sigma(5)=\frac{5^{1+1}-1}{5-1}=\frac{25-1}{4}=\frac{24}{4}=6.
  • Para 7: \sigma(7)=\frac{7^2-1}{7-1}=\frac{49-1}{6}=\frac{48}{6}=8.
  • Para 13: \sigma(13)=\frac{13^2-1}{13-1}=\frac{169-1}{12}=\frac{168}{12}=14.
Multiplicando:
\sigma(12285)=40\cdot6\cdot8\cdot14.
Calcular passo a passo:
40\cdot6=240,\qquad 240\cdot8=1920,\qquad 1920\cdot14=1920\cdot(10+4)=19200+7680=26880.
Logo
\sigma(12285)=26880.
A soma dos divisores próprios de 12285 é
\sigma(12285)-12285 = 26880-12285 = 14595.
Portanto o candidato para o número amigável par de 12285 é 14595.

Passo 5

Agora precisamos verificar a condição recíproca: a soma dos divisores próprios de 14595 deve ser 12285. Primeiro fatorar 14595.
Fatoração de 14595:
  • Termina em 5, divisível por 5: 14595\div5=2919.
  • Soma dos dígitos de 2919 é 2+9+1+9=21, divisível por 3: 2919\div3=973.
  • Testar 973: tentar divisões por primos pequenos. 973\div7=139 exatamente, porque 7\times139=973. E 139 é primo.
Portanto
14595 = 3\cdot5\cdot7\cdot139.
Ou seja, 14595 = 3^1\cdot5\cdot7\cdot139.

Passo 6

Calcular \sigma(14595) e mostrar que a soma dos divisores próprios é 12285.
Calcular \sigma por primos:
  • \sigma(3)=1+3=4.
  • \sigma(5)=6 (já calculado antes).
  • \sigma(7)=8.
  • \sigma(139)=1+139=140 (pois 139 é primo).
Multiplicar:
\sigma(14595)=4\cdot6\cdot8\cdot140.
Calcular:
4\cdot6=24,\qquad 24\cdot8=192,\qquad 192\cdot140=192\cdot(100+40)=19200+7680=26880.
Assim
\sigma(14595)=26880.
Logo a soma dos divisores próprios de 14595 é
\sigma(14595)-14595 = 26880-14595 = 12285.
Isso confirma que a soma dos divisores próprios de 14595 é 12285, e portanto 12285 e 14595 formam um par de números amigáveis.

Passo 7

Conclusão final: o outro número do par amigável que contém 12285 é 14595. Foi verificado que a soma dos divisores próprios de 12285 é 14595 e a soma dos divisores próprios de 14595 é 12285, satisfazendo a definição de números amigáveis.

Resposta

14595

Exercícios relacionados