Questão 02: (2,5 pontos) Considere um sistema de controle de temperatura de um forno, modelado por um sistema de primeira ordem \mathrm{G}_{2}(\mathrm{~s})=\frac{100}{s+2}, onde a saída é a temperatura e a entrada é a potência do aquecedor. O controle é feito por um controlador puramente proporcional, \mathrm{G}_{1}(\mathrm{~s})=\mathrm{K}_{\mathrm{p}}. A realimentação é unitária (\mathrm{H}(\mathrm{s})=1). Determine o erro em regime estacionário (ess) deste sistema para uma entrada de referência do tipo degrau unitário \left(\mathrm{R}(\mathrm{s})=\frac{1}{s}\right). O que acontece com o erro quando o ganho Kp aumenta?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente as informações que recebemos):
  • Planta (sistema do forno): \displaystyle G_{2}(s)=\frac{100}{s+2}. A saída é a temperatura e a entrada é a potência do aquecedor.
  • Controlador proporcional: \displaystyle G_{1}(s)=K_{p} (ganho proporcional K_{p}).
  • Realimentação unitária: \displaystyle H(s)=1.
  • Referência é um degrau unitário: \displaystyle R(s)=\frac{1}{s}.
  • Perguntas:
    1. Determinar o erro em regime estacionário \mathrm{ess}=\lim_{t\to\infty} e(t) para essa entrada degrau.
    2. O que acontece com esse erro quando o ganho K_{p} aumenta?

Passo 2

Vou montar a função de malha aberta (open‑loop) L(s) multiplicando controlador e planta:
L(s)=G_{1}(s)\,G_{2}(s)=K_{p}\cdot\frac{100}{s+2}=\frac{100\,K_{p}}{s+2}.
Aqui L(s) é a função que descreve o caminho direto da referência até o somador, antes da realimentação.

Passo 3

Em sistema de realimentação unitária, a função de erro (relação entre E(s) e R(s)) é
\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+L(s)}.
Explicando: Y(s)=\dfrac{L(s)}{1+L(s)}R(s) é a saída em malha fechada; então E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)/(1+L(s)). Nesta expressão E(s) é a transformada de Laplace do erro e(t).

Passo 4

Substituo R(s)=\dfrac{1}{s} e L(s)=\dfrac{100K_{p}}{s+2} na relação do passo anterior:
E(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{100K_{p}}{s+2}}.
Faço a simplificação algébrica do denominador:
1+\frac{100K_{p}}{s+2}=\frac{s+2+100K_{p}}{s+2},
portanto
E(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{s+2}{s+2+100K_{p}}.

Passo 5

Para obter o erro em regime estacionário usamos o Teorema do Valor Final:
\mathrm{ess}=\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to 0} s\,E(s).
Condição para usar o teorema: o sistema em malha fechada deve ser estável (todos os polos com parte real negativa). A função de transferência em malha fechada tem denominador s+2+100K_{p}, logo o polo está em s=-(2+100K_{p}), que é estritamente negativo para K_{p}\ge 0. Portanto o sistema é estável e o teorema vale.
Calculo sE(s) e avalio em s\to 0:
sE(s)=s\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{s+2}{s+2+100K_{p}}=\frac{s+2}{s+2+100K_{p}}.
Tomando s\to 0:
\mathrm{ess}=\frac{0+2}{0+2+100K_{p}}=\frac{2}{2+100K_{p}}.
Posso simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
\boxed{\mathrm{ess}=\frac{1}{1+50\,K_{p}}.}
Aqui \mathrm{ess} é o erro de regime estacionário para um degrau unitário de referência.

Passo 6

Interpretação do resultado e comportamento quando K_{p} aumenta:
  • A expressão \mathrm{ess}=\dfrac{1}{1+50K_{p}} mostra que \mathrm{ess} decresce monotonicamente quando K_{p} aumenta.
  • Limite quando K_{p}\to\infty:
\lim_{K_{p}\to\infty}\mathrm{ess}=0,
isto é, quanto maior o ganho proporcional, menor o erro em regime estacionário, tendendo a zero quando K_{p} cresce sem limite. Na prática, para erro exatamente zero seria necessário K_{p}=\infty, o que não é realizável; com K_{p} grande o erro fica muito pequeno.
  • Observação prática (curta): aumentar K_{p} melhora o erro em regime permanente, mas na prática pode afetar comportamento transitório (ex.: maior ganho pode aumentar sensibilidade a ruído ou provocar respostas mais rápidas com possível overshoot). No entanto, neste modelo linear simples, a malha fechada permanece estável para qualquer K_{p}\ge 0.

Resposta

\mathrm{ess}=\dfrac{1}{1+50\,K_{p}}
Quando K_{p} aumenta, o erro em regime estacionário diminui e tende a zero quando K_{p}\to\infty.

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