Questão 02: (2,5 pontos) Considere um sistema de controle de temperatura de um forno, modelado por um sistema de primeira ordem
, onde a saída é a temperatura e a entrada é a potência do aquecedor. O controle é feito por um controlador puramente proporcional,
. A realimentação é unitária
. Determine o erro em regime estacionário (ess) deste sistema para uma entrada de referência do tipo degrau unitário
. O que acontece com o erro quando o ganho Kp aumenta?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente as informações que recebemos):
- Planta (sistema do forno):
. A saída é a temperatura e a entrada é a potência do aquecedor. - Controlador proporcional:
(ganho proporcional ). - Realimentação unitária:
. - Referência é um degrau unitário:
. - Perguntas:
- Determinar o erro em regime estacionário
para essa entrada degrau. - O que acontece com esse erro quando o ganho
aumenta?
- Determinar o erro em regime estacionário
Passo 2
Vou montar a função de malha aberta (open‑loop)
multiplicando controlador e planta:
Aqui
é a função que descreve o caminho direto da referência até o somador, antes da realimentação.
Passo 3
Em sistema de realimentação unitária, a função de erro (relação entre
e
) é
Explicando:
é a saída em malha fechada; então
. Nesta expressão
é a transformada de Laplace do erro
.
Passo 4
Substituo
e
na relação do passo anterior:
Faço a simplificação algébrica do denominador:
portanto
Passo 5
Para obter o erro em regime estacionário usamos o Teorema do Valor Final:
Condição para usar o teorema: o sistema em malha fechada deve ser estável (todos os polos com parte real negativa). A função de transferência em malha fechada tem denominador
, logo o polo está em
, que é estritamente negativo para
. Portanto o sistema é estável e o teorema vale.
Calculo
e avalio em
:
Tomando
:
Posso simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Aqui
é o erro de regime estacionário para um degrau unitário de referência.
Passo 6
Interpretação do resultado e comportamento quando
aumenta:
- A expressão
mostra que decresce monotonicamente quando aumenta. - Limite quando
:
isto é, quanto maior o ganho proporcional, menor o erro em regime estacionário, tendendo a zero quando
cresce sem limite. Na prática, para erro exatamente zero seria necessário
, o que não é realizável; com
grande o erro fica muito pequeno.
- Observação prática (curta): aumentar
melhora o erro em regime permanente, mas na prática pode afetar comportamento transitório (ex.: maior ganho pode aumentar sensibilidade a ruído ou provocar respostas mais rápidas com possível overshoot). No entanto, neste modelo linear simples, a malha fechada permanece estável para qualquer .
Resposta
Quando