(25,0 pontos) Para a realização do processo de têmpera, bolas de aço com 14 mm de diâmetro, aquecidas previamente a uma temperatura de 1.150 K , são resfriadas \mathrm{e}=600 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}. Estimar: \mathrm{h}=26 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Supondo que as propriedades do aço sejam \mathrm{k}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \rho=7.800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
a) (10,0 pontos) O tempo necessário para o processo de resfriamento; b) (15,0 pontos) O calor transferido no resfriamento.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Diâmetro da bola: \,14\\ \text{mm}\, → raio \;r=7\\ \text{mm}=0{,}007\\ \text{m}.
  • Temperatura inicial da bola: \,T_i = 1{,}150\\ \text{K}.
  • Calor específico do aço: \,c = 600\\ \text{J}/\text{kg}\cdot\text{K}. (o enunciado usa \mathrm{e}, interpretei como c)
  • Coeficiente convectivo: \,h = 26\\ \text{W}/\text{m}^2\cdot\text{K}.
  • Condutividade térmica do aço: \,k = 40\\ \text{W}/\text{m}\cdot\text{K}.
  • Densidade do aço: \,\rho = 7{,}800\\ \text{kg}/\text{m}^3.
O enunciado pede:
a) O tempo necessário para o processo de resfriamento.
b) O calor transferido no resfriamento.
Observação importante: o enunciado NÃO especifica a temperatura do meio/banho onde as bolas são resfriadas ( T_\infty) nem a temperatura final desejada \,T_f (por exemplo, "até 300\\ \text{K}" ou "até T_f"). Essas temperaturas são necessárias para dar um valor numérico único para o tempo e para o calor transferido. Sem elas não se obtém um único número.
Para seguir adiante vou:
  • mostrar o método correto (com todas as fórmulas),
  • justificar por que podemos usar o modelo de corpo homogêneo (lumped-capacitance),
  • calcular a constante de tempo característica ( \tau) e massa da esfera,
  • dar a fórmula explícita para o tempo necessário para reduzir a temperatura até qualquer \,T_f, e exemplos numéricos para alguns T_f típicos (para você ter uma ideia).
Se preferir um cálculo numérico específico, indique o valor de \,T_\infty e/ou \,T_f; enquanto isso eu apresento a solução geral e exemplos.

Passo 2

Conceito e critério: modelo de capacitância concentrada (lumped-capacitance).
  • Ideia: se a resistência térmica por condução dentro da peça é pequena comparada à resistência por convecção na superfície, a temperatura dentro do corpo pode ser considerada espacialmente uniforme e só varia com o tempo.
  • Critério prático: número de Biot \,\mathrm{Bi}=\dfrac{h L_c}{k} deve ser \lesssim 0{,}1, onde L_c é o comprimento característico volumétrico L_c=\dfrac{V}{A} (volume dividido por área de superfície).
Para uma esfera:
  • V = \dfrac{4}{3}\pi r^3.
  • A = 4\pi r^2.
    Logo
L_c=\frac{V}{A}=\frac{(4/3)\pi r^3}{4\pi r^2}=\frac{r}{3}.
Calcular L_c e \mathrm{Bi}:
L_c=\frac{r}{3}=\frac{0{,}007}{3}=0{,}002333\ldots\\ \text{m}.
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{26\cdot 0{,}002333\ldots}{40}=0{,}0015167\approx1{,}52\times10^{-3}.
Interpretação: \mathrm{Bi}\ll 0{,}1. Portanto o modelo de capacitância concentrada (lumped) é perfeitamente válido: a temperatura da bola pode ser considerada uniforme no espaço e varia exponencialmente no tempo.

Passo 3

Equação de resfriamento no modelo lumped (fórmula fundamental):
quando o corpo tem temperatura uniforme T(t) e está num meio a T_\infty com convecção h, a solução é
T(t)-T_\infty = \bigl(T_i - T_\infty\bigr)\,\exp\!\left(-\frac{h A}{\rho c V}\,t\right).
É útil escrever a constante de tempo
\tau=\frac{\rho c V}{h A}=\frac{\rho c L_c}{h}.
Para uma esfera pode usar \tau=\dfrac{\rho c r}{3h}.
Interpretação das variáveis:
  • \,T(t) é a temperatura da esfera no instante t.
  • \,T_i é a temperatura inicial (aqui 1{,}150\\ \text{K}).
  • \,T_\infty é a temperatura do meio (não dada no enunciado).
  • \,h é coeficiente convectivo.
  • \,\rho densidade, \,c calor específico, V volume, A área de superfície.
  • \tau tem dimensão de tempo e dá a escala temporal do resfriamento: após um tempo \sim\tau a diferença de temperatura entre corpo e meio já foi reduzida por um fator e^{-1}\approx0{,}368.
Solução para o tempo necessário para alcançar uma temperatura final T_f (com T_f>T_\infty para que o log fique definido):
t = -\tau\\ \ln\!\left(\frac{T_f - T_\infty}{T_i - T_\infty}\right).
Observação: para T_f=T_\infty o tempo é infinito (approach assintótico), mas o calor removido até atingir praticamente T_\infty é finito.

Passo 4

Cálculos numéricos úteis (volume, área, massa, τ): faça as contas passo a passo.
Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}007)^3 =\;4{,}18879\cdot 3{,}43\times10^{-7}\approx 1{,}4367\times10^{-6}\\ \text{m}^3.
Massa da esfera:
m=\rho V = 7{,}800\cdot 1{,}4367\times10^{-6}\approx 0{,}0112039\\ \text{kg}.
Constante de tempo:
\tau=\frac{\rho c r}{3h}=\frac{7{,}800\cdot 600\cdot 0{,}007}{3\cdot 26} =\frac{7{,}800\cdot 600\cdot 0{,}007}{78} =\frac{10{,}920}{26}\\ (\text{veja cálculo abaixo}) .á
Fazendo as contas corretamente:
600\cdot 0{,}007=4{,}2,\quad 7{,}800\cdot 4{,}2=32{,}760,\quad 32{,}760/78=420.
Logo
\tau=420\\ \text{s}.
Interpretação prática: a escala de tempo do resfriamento é da ordem de alguns centenas de segundos (aqui \sim7 minutos).

Passo 5

Fórmula para o calor trocado: assumindo processo sem mudanças de fase e que c é constante, o calor removido para reduzir a temperatura da esfera de T_i para T_f é
Q = m c \bigl(T_i - T_f\bigr).
Se o interesse é o calor até o equilíbrio com o meio, então T_f=T_\infty e
Q_{\text{total}} = m c \bigl(T_i - T_\infty\bigr).
Como a massa já foi calculada ( m\approx0{,}0112039\\ \text{kg}), a expressão numérica fica
Q \approx 0{,}0112039\cdot 600\cdot \bigl(T_i - T_f\bigr) =6{,}72234\cdot \bigl(T_i - T_f\bigr)\\ \text{J/K}.
Para \,T_i = 1{,}150\\ \text{K} isso dá
Q \approx 6{,}72234\cdot (1{,}150 - T_f)\\ \text{J}.

Passo 6

Exemplos numéricos (apenas para dar intuição — estes números derivam da fórmula geral e de escolhas típicas de T_\infty / T_f):
Tomando como exemplo típico T_\infty=300\\ \text{K} (banho a temperatura ambiente) e supondo que se deseja aproximar a bola a essa temperatura:
  • Calor para levar a bola de 1{,}150\\ \text{K} a 300\\ \text{K}:
Q_{\text{(até 300 K)}}=m c (1{,}150-300) \approx 0{,}0112039\cdot 600\cdot 850 \approx 5{,}714\\ \text{J}.é
  • Tempo para atingir algumas temperaturas de referência (usando T_\infty=300\\ \text{K} no denominador da fórmula do tempo):
t = -\tau \ln\!\left(\frac{T_f - 300}{1{,}150-300}\right),\qquad \tau=420\\ \text{s}.
Cálculos:
  • Para T_f=500\\ \text{K}:
t=-420\ln\!\left(\frac{200}{850}\right)=-420\ln(0{,}235294)\approx 607\\ \text{s}\\ (\approx 10{,}1\\ \text{min}).
  • Para T_f=400\\ \text{K}:
t=-420\ln\!\left(\frac{100}{850}\right)=-420\ln(0{,}117647)\approx 899\\ \text{s}\\ (\approx 15{,}0\\ \text{min}).
  • Para T_f=350\\ \text{K}:
t\approx 1{,}191\\ \text{s}\\ (\approx 19{,}9\\ \text{min}).
  • Observação: para T_f=300\\ \text{K} a expressão dá t\to\infty (decai assintoticamente para a temperatura do meio). Na prática costuma-se aceitar um critério de aproximação (por exemplo, até T_f = T_\infty + 0{,}01(T_i-T_\infty), etc.).

Resposta

a) Não é possível fornecer um único valor numérico para o “tempo necessário” sem que seja dada a temperatura do meio T_\infty e/ou a temperatura final desejada T_f.
Entretanto, o modelo adequado é o de capacitância concentrada (lumped) porque \mathrm{Bi}=1{,}52\times10^{-3}\ll0{,}1. A constante de tempo é
\tau=\frac{\rho c r}{3h}=420\\ \text{s},
e o tempo para chegar a uma temperatura \,T_f (com T_f>T_\infty) é
t = -\tau\\ \ln\!\left(\frac{T_f - T_\infty}{1{,}150 - T_\infty}\right).
b) Não é possível fornecer um único valor numérico para o calor transferido sem conhecer T_f (ou T_\infty). A massa da esfera é
m=\rho\frac{4}{3}\pi r^3\approx 0{,}0112039\\ \text{kg},
e o calor removido para reduzir de T_i para T_f é
Q = m c \bigl(T_i - T_f\bigr)\approx 6{,}72234\,(1{,}150-T_f)\\ \text{J}.
Exemplo ilustrativo (caso T_\infty=T_f=300\\ \text{K}):
  • Q\approx 5{,}714\\ \text{J}.
  • Tempo para chegar a 500\\ \text{K}: t\approx 607\\ \text{s}.
  • Tempo para chegar a 400\\ \text{K}: t\approx 899\\ \text{s}.
(Se quiser eu faço o cálculo numérico para um T_\infty ou T_f que você escolher — por exemplo T_\infty=300\\ \text{K} ou outra temperatura de banho.)

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