(25,0 pontos) Para a realização do processo de têmpera, bolas de aço com 14 mm de diâmetro, aquecidas previamente a uma temperatura de 1.150 K , são resfriadas
. Estimar:
. Supondo que as propriedades do aço sejam
a) (10,0 pontos) O tempo necessário para o processo de resfriamento; b) (15,0 pontos) O calor transferido no resfriamento.
a) (10,0 pontos) O tempo necessário para o processo de resfriamento; b) (15,0 pontos) O calor transferido no resfriamento.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Diâmetro da bola:
→ raio - Temperatura inicial da bola:
- Calor específico do aço:
(o enunciado usa , interpretei como ) - Coeficiente convectivo:
- Condutividade térmica do aço:
- Densidade do aço:
O enunciado pede:
a) O tempo necessário para o processo de resfriamento.
b) O calor transferido no resfriamento.
a) O tempo necessário para o processo de resfriamento.
b) O calor transferido no resfriamento.
Observação importante: o enunciado NÃO especifica a temperatura do meio/banho onde as bolas são resfriadas (
) nem a temperatura final desejada
(por exemplo, "até
" ou "até
"). Essas temperaturas são necessárias para dar um valor numérico único para o tempo e para o calor transferido. Sem elas não se obtém um único número.
Para seguir adiante vou:
Para seguir adiante vou:
- mostrar o método correto (com todas as fórmulas),
- justificar por que podemos usar o modelo de corpo homogêneo (lumped-capacitance),
- calcular a constante de tempo característica (
) e massa da esfera, - dar a fórmula explícita para o tempo necessário para reduzir a temperatura até qualquer
, e exemplos numéricos para alguns típicos (para você ter uma ideia).
Se preferir um cálculo numérico específico, indique o valor de
e/ou
; enquanto isso eu apresento a solução geral e exemplos.
Passo 2
Conceito e critério: modelo de capacitância concentrada (lumped-capacitance).
- Ideia: se a resistência térmica por condução dentro da peça é pequena comparada à resistência por convecção na superfície, a temperatura dentro do corpo pode ser considerada espacialmente uniforme e só varia com o tempo.
- Critério prático: número de Biot
deve ser , onde é o comprimento característico volumétrico (volume dividido por área de superfície).
Para uma esfera:
-
-
Logo
Calcular
e
:
Interpretação:
. Portanto o modelo de capacitância concentrada (lumped) é perfeitamente válido: a temperatura da bola pode ser considerada uniforme no espaço e varia exponencialmente no tempo.
Passo 3
Equação de resfriamento no modelo lumped (fórmula fundamental):
quando o corpo tem temperatura uniforme e está num meio a
com convecção
, a solução é
quando o corpo tem temperatura uniforme
É útil escrever a constante de tempo
Para uma esfera pode usar
Interpretação das variáveis:
-
é a temperatura da esfera no instante . -
é a temperatura inicial (aqui ). -
é a temperatura do meio (não dada no enunciado). -
é coeficiente convectivo. -
densidade, calor específico, volume, área de superfície. -
tem dimensão de tempo e dá a escala temporal do resfriamento: após um tempo a diferença de temperatura entre corpo e meio já foi reduzida por um fator .
Solução para o tempo necessário para alcançar uma temperatura final
(com
para que o log fique definido):
Observação: para
o tempo é infinito (approach assintótico), mas o calor removido até atingir praticamente
é finito.
Passo 4
Cálculos numéricos úteis (volume, área, massa, τ): faça as contas passo a passo.
Volume da esfera:
Massa da esfera:
Constante de tempo:
Fazendo as contas corretamente:
Logo
Interpretação prática: a escala de tempo do resfriamento é da ordem de alguns centenas de segundos (aqui
minutos).
Passo 5
Fórmula para o calor trocado: assumindo processo sem mudanças de fase e que
é constante, o calor removido para reduzir a temperatura da esfera de
para
é
Se o interesse é o calor até o equilíbrio com o meio, então
e
Como a massa já foi calculada (
), a expressão numérica fica
Para
isso dá
Passo 6
Exemplos numéricos (apenas para dar intuição — estes números derivam da fórmula geral e de escolhas típicas de
/
):
Tomando como exemplo típico
(banho a temperatura ambiente) e supondo que se deseja aproximar a bola a essa temperatura:
- Calor para levar a bola de
a :
- Tempo para atingir algumas temperaturas de referência (usando
no denominador da fórmula do tempo):
Cálculos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Observação: para
a expressão dá (decai assintoticamente para a temperatura do meio). Na prática costuma-se aceitar um critério de aproximação (por exemplo, até , etc.).
Resposta
a) Não é possível fornecer um único valor numérico para o “tempo necessário” sem que seja dada a temperatura do meio
e/ou a temperatura final desejada
.
Entretanto, o modelo adequado é o de capacitância concentrada (lumped) porque . A constante de tempo é
Entretanto, o modelo adequado é o de capacitância concentrada (lumped) porque
e o tempo para chegar a uma temperatura
(com
) é
b) Não é possível fornecer um único valor numérico para o calor transferido sem conhecer
(ou
). A massa da esfera é
e o calor removido para reduzir de
para
é
Exemplo ilustrativo (caso
):
-
- Tempo para chegar a
: - Tempo para chegar a
:
(Se quiser eu faço o cálculo numérico para um
ou
que você escolher — por exemplo
ou outra temperatura de banho.)