(25,0 pontos) Seja uma câmara frigorífica instalada em um supermercado na cidade de São Paulo cuja temperatura ambiente média de verão é de 31^{\circ} \mathrm{C}. A área total das paredes da câmara é de 80 \mathrm{~m}^{2} e a câmara frigorífica é utilizada para conservação de frangos congelados, assim, pode-se considerar que a temperatura do ar no interior da câmara é de -22^{\circ} \mathrm{C}. O material utilizado para construção das paredes da câmara, chamado de placa termoisolante, é constituído de uma placa de isolante entre duas placas de aço inoxidável. A condutividade térmica do isolante é de \mathrm{k}_{\text {iso }}=0,04 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) e a condutividade térmica do aço inoxidável é de \mathrm{k}_{a c c}=20 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}). A espessura da placa de aço inoxidável é de 4 mm e a espessura do isolante é de 30 mm . O coeficiente de convecção interno é de 10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) e o coeficiente de convecção externo é de 30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Pede-se determinar
a) (10,0 pontos) A taxa de transferência de calor através das paredes;
b) (15,0 pontos) a temperatura na superfície externa da parede da câmara.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
  • O problema pede:
    • (a) determinar a taxa de transferência de calor através das paredes da câmara frigorífica;
    • (b) determinar a temperatura na superfície externa da parede (a face externa em contato com o ar ambiente).
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do ar externo: T_{\text{amb}}=31^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar interno da câmara: T_{\text{int}}=-22^\circ\mathrm{C}.
    • Área total das paredes: A=80\\ \mathrm{m}^2.
    • Placa de isolante entre duas chapas de aço inoxidável:
      • condutividade do isolante: k_{\text{iso}}=0{,}04\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
      • condutividade do aço inox: k_{\text{aço}}=20\\ \mathrm{W/(m\,K)}ç.
      • espessura da chapa de aço inoxidável (cada chapa): L_{\text{aço}}=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m}ç.
      • espessura do isolante: L_{\text{iso}}=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
    • Coeficientes de convecção:
      • interno: h_{\text{i}}=10\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
      • externo: h_{\text{o}}=30\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
Observação: a transferência de calor atravessa, em série, as resistências de convecção externa, chapa de aço externa, isolante, chapa de aço interna e convecção interna. A solução usará a rede de resistências térmicas em série.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aula curta, bem mastigada)
  • Para condução unidimensional através de uma camada plana homogênea de espessura L, condutividade k e área A, a resistência térmica é
R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}.
Aqui R_{\text{cond}} tem unidades de \mathrm{K/W} e representa quanto “suscita” a camada para a passagem de calor: quanto maior R, menor o fluxo para um mesmo gradiente de temperatura.
  • Para convecção na superfície de uma parede imersa em um fluido com coeficiente convectivo h e área A, a resistência convectiva é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}.
Novamente em \mathrm{K/W}. Uma convecção mais eficiente (maior h) reduz essa resistência.
  • Para elementos em série, resistências somam:
R_{\text{total}}=\sum R_i.
  • A taxa de transferência de calor (módulo do fluxo) entre duas temperaturas finais T_{\text{amb}} e T_{\text{int}} é dada por
\dot{Q}=\frac{T_{\text{amb}}-T_{\text{int}}}{R_{\text{total}}}.
A convenção de sinais: aqui tomo \dot{Q}>0 como calor saindo do ambiente e entrando na câmara (do ar quente para o frio).
  • Se quisermos saber a temperatura numa superfície intermediária (por exemplo a superfície externa sólida), usamos a queda de temperatura correspondente à resistência entre o ponto de referência e essa superfície:
\Delta T = \dot{Q}\,R_{\text{parcial}},
e então somamos/subtraímos de T_{\text{amb}} conforme a direção.
Vou aplicar essas fórmulas aos elementos da parede.

Passo 3

Montagem da rede de resistências e cálculo de cada resistência (vou calcular cada resistência numericamente, mostrando passos)
A ordem da superfície externa (ar ambiente) até o ar interno é:
convecção externa \to chapa aço externa \to isolante \to chapa aço interna \to convecção interna.
Calculemos cada resistência (todas em \mathrm{K/W}).
  • Resistência de convecção externa:
R_{\text{conv,o}}=\frac{1}{h_{\text{o}}A}=\frac{1}{30\cdot80}=\frac{1}{2400}=0{,}000416666\ldots
  • Resistência da chapa de aço externa:
R_{\text{aço,ext}}=\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}A}=\frac{0{,}004}{20\cdot80}=\frac{0{,}004}{1600}=0{,}0000025.ççç
  • Resistência do isolante:
R_{\text{iso}}=\frac{L_{\text{iso}}}{k_{\text{iso}}A}=\frac{0{,}03}{0{,}04\cdot80}=\frac{0{,}03}{3{,}2}=0{,}009375.
  • Resistência da chapa de aço interna (segunda chapa de aço, mesma que a externa):
R_{\text{aço,int}}=R_{\text{aço,ext}}=0{,}0000025.çç
  • Resistência de convecção interna:
R_{\text{conv,i}}=\frac{1}{h_{\text{i}}A}=\frac{1}{10\cdot80}=\frac{1}{800}=0{,}00125.
Observação didática rápida: repara que as resistências das chapas de aço são muito pequenas (devido ao alto k_{\text{aço}}ç e à pequena espessura) em comparação à resistência do isolante e às resistências de convecção. Isso é típico: metais finos pouco atrapalham, o que “manda” é o isolante e as películas de convecção.

Passo 4

Soma das resistências e cálculo de \dot{Q}
  • Soma das resistências:
R_{\text{total}}=R_{\text{conv,o}}+R_{\text{aço,ext}}+R_{\text{iso}}+R_{\text{aço,int}}+R_{\text{conv,i}}.çç
Substituindo os valores (apresentados com precisão):
R_{\text{total}}=0{,}0004166667+0{,}0000025+0{,}009375+0{,}0000025+0{,}00125=0{,}0110466667\\ \mathrm{K/W}.
  • Diferença de temperatura total disponível:
\Delta T = T_{\text{amb}}-T_{\text{int}} = 31-(-22)=53\\ \mathrm{K}.
  • Taxa de transferência de calor:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{53}{0{,}0110466667}\approx 4798{,}4\\ \mathrm{W}.
Interpretação: aproximadamente 4{,}80\\ \mathrm{kW} entram através das paredes, do ar quente externo para o interior frio.

Passo 5

Cálculo da temperatura na superfície externa da parede
Queremos a temperatura da face externa sólida, isto é, a temperatura da superfície do aço em contato com o ar externo. Chamo-a de T_{s,\text{ext}}. A queda de temperatura entre o ar ambiente e essa superfície é dada pela resistência de convecção externa:
T_{\text{amb}}-T_{s,\text{ext}}=\dot{Q}\,R_{\text{conv,o}}.
Logo
T_{s,\text{ext}}=T_{\text{amb}}-\dot{Q}\,R_{\text{conv,o}}.
Substituindo os valores:
T_{s,\text{ext}}=31-\left(4798{,}3539\cdot 0{,}0004166667\right)\\ \\ ^\circ\mathrm{C}.
Calculemos o termo de correção:
\dot{Q}\,R_{\text{conv,o}}=\frac{\dot{Q}}{h_{\text{o}}A}=\frac{4798{,}3539}{30\cdot80}=\frac{4798{,}3539}{2400}\approx 1{,}9993\\ \mathrm{K}.
Portanto
T_{s,\text{ext}}\approx 31-1{,}9993\approx 29{,}0007^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com senso prático (duas casas decimais), a temperatura na superfície externa da parede é cerca de 29{,}00^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\dot{Q}=4798{,}4\\ \mathrm{W}
T_{s,\text{ext}}=29{,}00^\circ\mathrm{C}

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