Questão 02. (3,5 pontos) Dadas as transformações lineares F: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e G: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tais que F(x, y, z)= (x-y, y-z) e G(x, y)=(x-y, y-x, x+y), encontre
(a) uma base para o núcleo e para a imagem de G \circ F;
(b) (G \circ F+I)^{-1}, onde I é a identidade do \mathbb{R}^{3}.
Pede-se:
(a) uma base para o núcleo e uma base para a imagem da composição G\circ F;
(b) a inversa (G\circ F+I)^{-1}, onde I é a identidade de \mathbb{R}^3.
As informações relevantes que temos são as fórmulas explícitas de F e G, e que a composição G\circ F é a aplicação de F seguida de G. A resolução começará encontrando a expressão explícita de G\circ F e a matriz correspondente.
Passo 2
Vamos calcular explicitamente G\circ F. Seja
u = x-y,\qquad v = y-z
(vindos de F). Aplicando G a (u,v) obtemos:
(G\circ F)(x,y,z)=G(u,v)=(u-v,\;v-u,\;u+v).
Substituindo u=x-y e v=y-z temos, componente a componente:
É útil escrever G\circ F como multiplicação por uma matriz A em relação à base canônica. Avaliamos G\circ F nas três bases canônicas (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):
Para (1,0,0): (1-0+0,\;-(1-0+0),\;1-0)=(1,-1,1).
Para (0,1,0): (0-2\cdot1+0,\;-(0-2\cdot1+0),\;0-0)=(-2,2,0).
cuja j-ésima coluna é a imagem do j-ésimo vetor canônico.]
Passo 4
Agora vamos achar o núcleo de G\circ F\). Por definição, o núcleo é o conjunto de vetores \((x,y,z)\) tais que \(A(x,y,z)^{T}=0\). Escrevendo o sistema linear das três componentes obtemos:
\[\begin{cases} x-2y+z=0,\\[4pt] - x+2y-z=0,\\[4pt] x-z=0. \end{cases}
Observações:
A segunda equação é simplesmente a negativa da primeira, então não dá informação nova.
Da terceira equação temos x=z\]. Substituindo na primeira:
\[x-2y+x=0 \implies 2x-2y=0 \implies x-y=0 \implies y=x.\]
Portanto \(x=y=z. Assim todo vetor do núcleo é da forma (t,t,t)=t(1,1,1). Concluímos que
\ker(G\circ F)=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Isto é, uma base para o núcleo é \{(1,1,1)\}.
(Comentário didático rápido: resolver o núcleo equivale a resolver um sistema homogêneo; encontrar que todas as coordenadas são iguais mostra que o espaço de soluções é uma reta através da origem.)]
Passo 5
Para a imagem (ou posto) usamos que a imagem de uma transformação linear dada por matriz é o subespaço gerado pelas colunas da matriz. As colunas de A são
(Comentário didático: pela fórmula de posto-nuloidade, \dim\ker=1 e domínio tem dimensão 3, então \dim\operatorname{Im}=3-1=2, consistente com termos duas colunas independentes.)
Passo 6
Agora resolvemos (b): calcular (G\circ F + I)^{-1}. Primeiro montamos a matriz B=A+I (soma elemento a elemento com a identidade I_3):
Vamos calcular B^{-1} pelo método da adjunta (matriz dos cofatores transposta), que é prático aqui porque já temos \det B. Para isso calculamos os menores e cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Os menores M_{ij} e cofatores levam às seguintes entradas da matriz de cofatores:
(Fazendo uma rápida verificação: multiplicando B por essa matriz obtém-se a matriz identidade I_3, confirmando que o cálculo está correto.)]
Passo 9
Resumo final: temos a base do núcleo, a base da imagem e a matriz inversa pedida. Estou torcendo por você na prova — lembre que esses passos (composição, resolver sistema para o núcleo, e usar colunas para a imagem) são receitas úteis que você pode aplicar rápido na prova.