Um engenheiro mecânico está analisando a deformação planar de uma chapa metálica fina submetida a esforços no plano x y. Após o carregamento, cada ponto ( x, y ) da chapa é deslocado para uma nova posição ( x^{\prime}, y^{\prime} ) de acordo com a seguinte relação linear:
T:\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right] \longmapsto\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]
(a) Verifique se T é uma transformação linear.
(b) Determine a matriz associada a T e encontre o vetor imagem do ponto P(5,2) após a deformação.
(c) Calcule o determinante da matriz de T e interprete fisicamente seu valor no contexto da deformação da chapa (expansão, compressão ou preservação de área).
(d) Encontre os autovalores e autovetores da matriz de T e explique o significado físico desses autovetores para a deformação - o que eles representam em termos de direções principais de alongamento ou compressão.

Passo 1

O enunciado dá uma regra de deslocamento linear para cada ponto (x,y) da chapa, definida por
T:\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}\longmapsto \begin{pmatrix}x'\\[4pt]y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Verificar se T é uma transformação linear.
(b) Determinar a matriz associada a T e encontrar a imagem do ponto P(5,2).
(c) Calcular o determinante da matriz de T e interpretar fisicamente (expansão/compressão/preservação de área).
(d) Encontrar autovalores e autovetores da matriz de T e explicar fisicamente o que eles representam (direções principais de alongamento/compressão).
Informações relevantes dadas: a matriz que define o mapa é
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},
e o ponto pedido é P(5,2).]

Passo 2

Definição prática de transformação linear (que vamos verificar): uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v e escalar c,
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(cu)=c\,T(u).
Mostramos isso usando coordenadas e a matriz A. Tome
u=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\end{pmatrix},\qquad c\in\mathbb{R}.
Como T é dada por multiplicação por A, temos
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
porque a multiplicação matricial distribui sobre soma de vetores. E
T(cu)=A(cu)=c(Au)=c\,T(u).
Portanto as duas propriedades se verificam; T é linear. (Aqui usamos propriedades básicas da multiplicação matricial.)]

Passo 3

A matriz associada a T é exatamente a matriz dada no enunciado:
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Para achar a imagem do ponto P(5,2) calculamos A vezes o vetor coluna \begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}x'\\[4pt]y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Fazendo as multiplicações em linha:
x' = 2\cdot 5 + 1\cdot 2 = 10 + 2 = 12,
y' = 1\cdot 5 + 2\cdot 2 = 5 + 4 = 9.
Logo a imagem de P(5,2) é o ponto \bigl(12,9\bigr).]

Passo 4

O determinante de A mede o fator de escala de áreas infinitesimais sob o mapa linear e o seu sinal indica se a orientação é preservada (det >0) ou invertida (det <0). Calculamos:
\det(A) = \det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 4 - 1 = 3.
Interpretação física:
  • O módulo |\det(A)|=3 informa que áreas pequenas na chapa são multiplicadas por 3: há uma expansão da área por um fator 3.
  • Como \det(A)>0, a orientação local é preservada (não há reflexão).
    Em outras palavras, a chapa sofre uma expansão de área (triplica a área local), não uma compressão nem preservação exata da área.]

Passo 5

Definição e objetivo para autovalores/autovetores: procuramos \lambda\in\mathbb{R} e v\neq 0 tais que
A v = \lambda v.
Para encontrar os autovalores resolvemos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Calculamos A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)^2 - 1.
Expandindo,
(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 -4\lambda +4 -1 = \lambda^2 -4\lambda +3.
Resolvendo a equação quadrática \lambda^2 -4\lambda +3 = 0 encontramos as raízes:
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_1 = 3,\qquad \lambda_2 = 1.]

Passo 6

Encontrar autovetor associado a \lambda_1=3. Resolvemos (A-3I)v=0:
A-3I = \begin{pmatrix}2-3 & 1\\[4pt]1 & 2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
O sistema linear para v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} é
- x + y = 0,
x - y = 0,
que é a mesma equação repetida, dando y = x. Assim um autovetor não nulo é, por exemplo,
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo escalar de v_1 também é autovetor.]

Passo 7

Encontrar autovetor associado a \lambda_2=1. Resolvemos (A-I)v=0:
A-I = \begin{pmatrix}2-1 & 1\\[4pt]1 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O sistema é
x + y = 0,
x + y = 0,
logo y = -x. Um autovetor não nulo é, por exemplo,
v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Interpretação física dos autovalores e autovetores:
  • Autovetores dão direções especiais (linhas através da chapa) que não mudam de direção após a deformação — vetores ao longo dessas direções são apenas escalados, não rotacionados. Por isso chamam-se direções principais de alongamento/compressão.
  • O autovalor correspondente é o fator de escala nessa direção: se A v = \lambda v, então um segmento na direção de v cresce em comprimento por um fator |\lambda| (e inverte sentido se \lambda<0).
    Aplicando isso ao caso:
  • Para \lambda_1=3 com v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}: a direção é a reta y=x. Vetores nessa direção são alongados por um fator 3 — é a direção de maior alongamento (estiramento).
  • Para \lambda_2=1 com v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}: a direção é a reta y=-x. Vetores nessa direção mantêm o mesmo comprimento e direção ( fator\;1), logo nessa direção não há alongamento nem compressão (é uma direção de preservação).
  • Observação consistente: o produto dos autovalores 3\cdot 1 = 3 coincide com \det(A)=3, que é o fator de escala de áreas (produto dos fatores de escala nas duas direções principais).]

Resposta

(a) T é linear.
(b) Matriz A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}. Imagem de P(5,2): (12,9).
(c) \det(A)=3. A chapa sofre expansão de área por fator 3 (orientação preservada).
(d) Autovalores \lambda_1=3 e \lambda_2=1. Autovetores correspondentes v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} (direção y=x, alongamento por 3) e v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} (direção y=-x, preservação de comprimento).]

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