\begin{cases} 4x + z = 0,\\[4pt] -2x + y = 0,\\[4pt] -2x + z = 0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo:
Da segunda equação obtemos y=2x\].
- Da primeira obtemos \(z=-4x.
- Da terceira obtemos z=2x.
As duas expressões para z devem ser iguais, então -4x = 2x, o que dá 6x=0 e, portanto, x=0. Com x=0 segue y=0 e z=0.
Conclusão: a única solução é o vetor nulo. Assim
\operatorname{Ker}(T)=\{\mathbf{0}\}.
(Interpretação útil: T é injetora.)]
Passo 5
Determinar \operatorname{Im}(T).
Definição e ideia prática:
\operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é, \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(4,-2,-2),(0,1,0),(1,0,1)\}.
Para ver se esse subespaço é todo \mathbb{R}^3 verificamos se as colunas são linearmente independentes (ou se \operatorname{rank}(A)=3).
Cálculo do determinante de A (para testar invertibilidade):
Como \det(A)=6\neq 0, a matriz é invertível, tem posto 3 e, portanto, as colunas geram todo \mathbb{R}^3.
Conclusão:
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
(Interpretação: T é sobrejetora; combinando com o kernel trivial, T é bijetora e invertível.)]
Passo 6
Agora vamos encontrar os autovalores de T: são os \lambda\in\mathbb{R} tais que existe vetor não-nulo v com A v=\lambda v, i.e. (A-\lambda I)v=0. Os autovalores são as raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Da segunda equação vem x=0\]. Substituindo em \(3x+z=0 obtemos z=0. A variável y não aparece — é livre. Portanto os vetores próprios são da forma (0,y,0)=y(0,1,0) com y\neq 0. Podemos escolher o autovetor
v_1=(0,1,0).]
Passo 8
Encontrar autovetores associados a [\lambda=2). Resolvemos (A-2I)v=0.
Da primeira equação z=-x\]. Da segunda \(y=-x. A terceira é consequência das anteriores (verificação: substituindo z=-x dá 0=0). Tomando x=t temos vetores
(t,\,-t,\,-t)=t(1,-1,-1).
Escolhemos como autovetor
v_3=(1,-1,-1).]
Passo 10
Resumo interpretativo rápido (motivação para prova): encontramos três autovalores distintos \{1,2,3\} e para cada um um autovetor não-nulo e linearmente independente dos outros, o que confirma que A é diagonalizável e consistente com \det(A)\neq 0 (nenhum autovalor é zero).
Resposta
T é linear. \operatorname{Ker}(T)=\{\mathbf{0}\}. \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}.
Autovalores e autovetores: \lambda=1 com autovetor (0,1,0). \lambda=2 com autovetor (1,-2,-2). \lambda=3 com autovetor (1,-1,-1).