Questão 02) ( 2,5 pontos) Determine o
e o
se:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar
e
para o campo vetorial dado. As informações que temos são as componentes de
:
Ou seja,
Não há outras condições dadas (domínio, singularidades etc.). A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos calcular primeiro
. Definição: a divergência de um campo vetorial
é
Explico cada termo:
é a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constantes; e o mesmo para os outros termos.
Calculemos termo a termo:
- Para
temos . Como é constante em relação a e , obtemos
- Para
temos . é constante em relação a e , logo
- Para
temos . é constante em relação a e , portanto
Somando os três termos:
Passo 3
Agora calculamos
(o rotor, ou curl). Definição em coordenadas cartesianas:
Vou calcular cada derivada parcial necessária, lembrando as regras básicas: derivada de
em relação a
é
; se a função não depende da variável, a derivada parcial é zero.
Calculemos termo a termo:
-
Para a componente em
: . -
: como não depende de , essa derivada é . -
: . Aqui é constante em relação a e , então
Assim a componente emé -
-
Para a componente em
: . -
: não depende de , então essa derivada é . -
: . Aqui é constante em relação a e , portanto
Assim a componente emé -
-
Para a componente em
: . -
: não depende de , então essa derivada é . -
: . Aqui é constante em relação a e , então
Assim a componente emé -
Juntando as três componentes obtemos o rotor:
Passo 4
Um chequinho rápido e pedagógico: uma identidade vetorial diz que
. Se você calcular a divergência do vetor que encontramos para
verá que todas as derivadas parciais são zero (cada componente não depende da sua respectiva variável de derivação), confirmando esse comportamento — é um bom exercício para praticar derivadas parciais.