Questão 02) ( 2,5 pontos) Determine o \operatorname{rot} \mathbf{F} e o \operatorname{div} \mathbf{F} se:
\boldsymbol{F}(x, y, z)=e^{-x} \operatorname{sen}(y) \boldsymbol{i}+e^{-y} \operatorname{sen}(z) \boldsymbol{j}+e^{-z} \operatorname{sen}(x) \boldsymbol{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar \operatorname{rot}\mathbf{F} e \operatorname{div}\mathbf{F} para o campo vetorial dado. As informações que temos são as componentes de \mathbf{F}:
\mathbf{F}(x,y,z)=e^{-x}\operatorname{sen}(y)\,\mathbf{i}+e^{-y}\operatorname{sen}(z)\,\mathbf{j}+e^{-z}\operatorname{sen}(x)\,\mathbf{k}.
Ou seja,
F_1(x,y,z)=e^{-x}\operatorname{sen}(y),\qquad F_2(x,y,z)=e^{-y}\operatorname{sen}(z),\qquad F_3(x,y,z)=e^{-z}\operatorname{sen}(x).
Não há outras condições dadas (domínio, singularidades etc.). A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos calcular primeiro \operatorname{div}\mathbf{F}. Definição: a divergência de um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Explico cada termo: \frac{\partial F_1}{\partial x} é a derivada parcial de F_1 em relação a x, tratando y,z como constantes; e o mesmo para os outros termos.
Calculemos termo a termo:
  • Para \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x} temos F_1=e^{-x}\operatorname{sen}(y). Como \operatorname{sen}(y) é constante em relação a x e \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}, obtemos
\frac{\partial F_1}{\partial x}=-e^{-x}\operatorname{sen}(y).
  • Para \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y} temos F_2=e^{-y}\operatorname{sen}(z). \operatorname{sen}(z) é constante em relação a y e \frac{d}{dy}e^{-y}=-e^{-y}, logo
\frac{\partial F_2}{\partial y}=-e^{-y}\operatorname{sen}(z).
  • Para \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial z} temos F_3=e^{-z}\operatorname{sen}(x). \operatorname{sen}(x) é constante em relação a z e \frac{d}{dz}e^{-z}=-e^{-z}, portanto
\frac{\partial F_3}{\partial z}=-e^{-z}\operatorname{sen}(x).
Somando os três termos:
\operatorname{div}\mathbf{F}=-e^{-x}\operatorname{sen}(y)-e^{-y}\operatorname{sen}(z)-e^{-z}\operatorname{sen}(x).

Passo 3

Agora calculamos \operatorname{rot}\mathbf{F} (o rotor, ou curl). Definição em coordenadas cartesianas:
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Vou calcular cada derivada parcial necessária, lembrando as regras básicas: derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \cos(u); se a função não depende da variável, a derivada parcial é zero.
Calculemos termo a termo:
  • Para a componente em \mathbf{i}: \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}.
    • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}: como F_3=e^{-z}\operatorname{sen}(x) não depende de y, essa derivada é 0.
    • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial z}: F_2=e^{-y}\operatorname{sen}(z). Aqui e^{-y} é constante em relação a z e \frac{d}{dz}\operatorname{sen}(z)=\cos(z), então
    \frac{\partial F_2}{\partial z}=e^{-y}\cos(z).
    Assim a componente em \mathbf{i} é
    0 - e^{-y}\cos(z) = -e^{-y}\cos(z).
  • Para a componente em \mathbf{j}: \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}.
    • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}: F_1=e^{-x}\operatorname{sen}(y) não depende de z, então essa derivada é 0.
    • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial x}: F_3=e^{-z}\operatorname{sen}(x). Aqui e^{-z} é constante em relação a x e \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x), portanto
    \frac{\partial F_3}{\partial x}=e^{-z}\cos(x).
    Assim a componente em \mathbf{j} é
    0 - e^{-z}\cos(x) = -e^{-z}\cos(x).
  • Para a componente em \mathbf{k}: \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.
    • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}: F_2=e^{-y}\operatorname{sen}(z) não depende de x, então essa derivada é 0.
    • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}: F_1=e^{-x}\operatorname{sen}(y). Aqui e^{-x} é constante em relação a y e \frac{d}{dy}\operatorname{sen}(y)=\cos(y), então
    \frac{\partial F_1}{\partial y}=e^{-x}\cos(y).
    Assim a componente em \mathbf{k} é
    0 - e^{-x}\cos(y) = -e^{-x}\cos(y).
Juntando as três componentes obtemos o rotor:
\operatorname{rot}\mathbf{F}=-e^{-y}\cos(z)\,\mathbf{i}-e^{-z}\cos(x)\,\mathbf{j}-e^{-x}\cos(y)\,\mathbf{k}.

Passo 4

Um chequinho rápido e pedagógico: uma identidade vetorial diz que \operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=0. Se você calcular a divergência do vetor que encontramos para \operatorname{rot}\mathbf{F} verá que todas as derivadas parciais são zero (cada componente não depende da sua respectiva variável de derivação), confirmando esse comportamento — é um bom exercício para praticar derivadas parciais.

Resposta

\operatorname{rot}\mathbf{F}(x,y,z)=-e^{-y}\cos(z)\,\mathbf{i}-e^{-z}\cos(x)\,\mathbf{j}-e^{-x}\cos(y)\,\mathbf{k}
\operatorname{div}\mathbf{F}(x,y,z)=-e^{-x}\operatorname{sen}(y)-e^{-y}\operatorname{sen}(z)-e^{-z}\operatorname{sen}(x)

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