Questão 02.(2 pontos) Encontre a equação do plano que contém o ponto A(0,-1,0) e a reta R: x-32=y-2=23.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelo ponto A(0,-1,0) e pela reta
x-32=y-2=23
Porém, essa escrita não especifica a coordenada z (fica “ 2/3” em vez de “ (z-2)/3”). Para prosseguir, assumimos que a reta é
x-32=y-21=z-23,
isto é, um ponto P0=(3,2,2) e vetor diretor vec v=(2,1,3). Vamos usar geometria analítica no espaço: obter uma direção no plano e outra que ligue um ponto da reta a A, cruzá-las para achar o vetor normal e então montar a equação do plano.

Passo 2

Escrevendo a reta em forma paramétrica, seja t o parâmetro comum:
x=3+2t, y=2+1t, z=2+3t
Logo o ponto P0 correspondente a t=0 é
P0=(3,2,2)
e o vetor diretor é
vec v=(2,1,3)

Passo 3

No plano queremos dois vetores não colineares. Um deles é vec v. O outro pode ser o vetor que liga P0 a A:
P0A=A-P0=(0-3,,-1-2,,0-2)=(-3,-3,-2)

Passo 4

O vetor normal vec n ao plano é perpendicular a esses dois vetores, então
vec n=vec vtimesP0A = i & j & k 2 & 1 & 3 -3 & -3 & -2 =(7,,-5,,-3)

Passo 5

A equação de um plano com normal vec n=(7,-5,-3) que passa por A(0,-1,0) é
7,(x-0)-5l(y+1r)-3,(z-0)=0
Distribuindo, obtemos
7x-5y-5-3z=0 Longrightarrow 7x-5y-3z-5=0

Resposta

A equação do plano é
7x-5y-3z-5=0

Exercícios relacionados