Questăo 03. Uma partícula em movimento no espaço tridimensional tem sua trajetória dada pela funçio vetorial r(t)=-2 cos (t) i+2 sen(t) j+t raiz5 k, com 0 <= t <= 2 pi.
(a)(1 ponto) Determine r^prime(pi / 6) (a velocidade vetorial da partícula quando t=pi / 6 ).
(b) (1 pouto) Determine r^prime prime(pi / 6) (a aceleraçāo da partícula quando t=pi / 6 ).
(c)(1 ponto) Determine |r^prime(pi / 6)| (a velocidade escalar da partícula quando t=pi / 6 ).
(d) (2 pontos) Determine o comprimento da trajetória percorrida pela partícula no intervalo de tempo dado,

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma partícula em R^3
vec r(t) = -2cos(t),vec i + 2sin(t),vec j + traiz5,vec k, 0<= t<= 2pi
Precisamos usar derivação de funções vetoriais para obter velocidade e aceleração, depois a norma da velocidade e, por fim, a fórmula do comprimento de arco
L=integral0^2pillvertvec r'(t)rrvert,dt.

Passo 2

Calcular a derivada de r(t) componente a componente:
  • Derivada de -2cos(t) é 2sin(t).
  • Derivada de 2sin(t) é 2cos(t).
  • Derivada de traiz5 é raiz5.
    Logo,
r'(t) = 2sin(t),i + 2cos(t),j + raiz5,k

Passo 3

Avaliar vec r'(t) em t=pi/6:
sin(pi/6)=tfrac12, cos(pi/6)=tfracraiz32, então
vec r'l(tfracpi6r) =2cdottfrac12,vec i + 2cdottfracraiz32,vec j + raiz5,vec k =1,vec i + raiz3,vec j + raiz5,vec k

Passo 4

Derivar novamente para obter a aceleração:
vec r''(t) =2cos(t),vec i - 2sin(t),vec j + 0,vec k
Em t=pi/6:
cos(pi/6)=tfracraiz32, sin(pi/6)=tfrac12, logo
vec r''l(tfracpi6r) =2cdottfracraiz32,vec i - 2cdottfrac12,vec j =raiz3,vec i - 1,vec j

Passo 5

Calcular a velocidade escalar em t=pi/6:
llvertvec r'(tfracpi6)rrvert =raiz1^2+(raiz3)^2+(raiz5)^2 =raiz1+3+5 =3

Passo 6

O comprimento da trajetória é
L=integral0^2pillvertvec r'(t)rrvert,dt
e como
lvertvec r'(t)rvert=raiz4sin^2t+4cos^2t+5=raiz9=3
temos
L=integral0^2pi3,dt=3cdot2pi=6pi

Resposta

(a) vec r'l(tfracpi6r)=1,vec i+raiz3,vec j+raiz5,vec k
(b) vec r''l(tfracpi6r)=raiz3,vec i-1,vec j
(c) llvertvec r'(tfracpi6)rrvert=3
(d) L=6pi

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