Questăo 03. Uma partícula em movimento no espaço tridimensional tem sua trajetória dada pela funçio vetorial , com .
(a)(1 ponto) Determine (a velocidade vetorial da partícula quando ).
(b) (1 pouto) Determine (a aceleraçāo da partícula quando ).
(c)(1 ponto) Determine (a velocidade escalar da partícula quando t=pi / 6 ).
(d) (2 pontos) Determine o comprimento da trajetória percorrida pela partícula no intervalo de tempo dado,
Passo 1
O enunciado dá a trajetória de uma partícula em R^3
Precisamos usar derivação de funções vetoriais para obter velocidade e aceleração, depois a norma da velocidade e, por fim, a fórmula do comprimento de arco L=integral0^2pillvertvec r'(t)rrvert,dt.
Passo 2
Calcular a derivada de r(t) componente a componente:
Derivada de -2cos(t) é 2sin(t).
Derivada de 2sin(t) é 2cos(t).
Derivada de traiz5 é raiz5.
Logo,
r'(t) = 2sin(t),i + 2cos(t),j + raiz5,k
Passo 3
Avaliar vec r'(t) em t=pi/6: sin(pi/6)=tfrac12, cos(pi/6)=tfracraiz32, então
vec r'l(tfracpi6r) =2cdottfrac12,vec i + 2cdottfracraiz32,vec j + raiz5,vec k =1,vec i + raiz3,vec j + raiz5,vec k
Passo 4
Derivar novamente para obter a aceleração:
vec r''(t) =2cos(t),vec i - 2sin(t),vec j + 0,vec k
Em t=pi/6: cos(pi/6)=tfracraiz32, sin(pi/6)=tfrac12, logo
vec r''l(tfracpi6r) =2cdottfracraiz32,vec i - 2cdottfrac12,vec j =raiz3,vec i - 1,vec j