(Questão 01) [3,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) -x^{2}+4 y^{2}+4 x+8 y-4=0
( )Hipérbole
b) y^{2}+2 y-1=0
( )Parábola
c) x^{2}+9=0
( )Conjunto Vazio
d) -3 x^{2}-\frac{4}{3} y^{2}+6 x-8 y-3=0
( )Elipse

Passo 1

O enunciado pede para identificar cada equação de cônica (rotulada por a, b, c, d) com o seu tipo (hipérbole, parábola, conjunto vazio ou elipse). Para isso, vamos escrever cada equação no formato geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
e usar o discriminante
\Delta = B^2 - 4AC,
além de verificar se há degeneração que leve a nenhuma solução real.

Passo 2

Analisando a equação a)
-x^{2} + 4y^{2} + 4x + 8y - 4 = 0
temos A=-1, B=0, C=4. Logo
\Delta = 0^2 - 4\cdot(-1)\cdot 4 = 16 > 0,
o que caracteriza uma hipérbole.

Passo 3

Analisando a equação b)
y^{2} + 2y - 1 = 0\nequivale a 0\cdot x^2 + 0\cdot xy + 1\cdot y^2 + 0\cdot x + 2y -1=0. Aqui A=0, B=0, C=1, então
\Delta = 0^2 - 4\cdot 0\cdot 1 = 0,
e há apenas um termo quadrático (em y), caracterizando uma parábola.

Passo 4

Analisando a equação c)
x^{2} + 9 = 0
fica x^2 = -9, não havendo solução real alguma. Portanto, trata-se de um conjunto vazio.

Passo 5

Analisando a equação d)
-3x^{2} - \tfrac{4}{3}y^{2} + 6x -8y - 3 = 0
temos A=-3, B=0, C=-\tfrac{4}{3}. Então
\Delta = 0^2 - 4\cdot(-3)\cdot\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr) = -16 < 0,
com A e C de mesmo sinal, o que caracteriza uma elipse.

Resposta

Hipérbole: a
Parábola: b
Conjunto vazio: c
Elipse: d

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