Questão 02. ( 2,5 pontos) Seja y_{1}=x uma solução da equação diferencial homogênea de segunda ordem x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0, x>0. Encontre a sua solução geral.
Pela definição do Wronskiano temos: W\left[y_{1}, y_{2}\right]=y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{2} y_{1}^{\prime}=x y_{2}^{\prime}-y_{2}
Pela fórmula de Abel temos: W\left[y_{1}, y_{2}\right]=c e^{-\int p(x) d x}=c e^{-\int \frac{1}{x} d x}=c e^{-\ln (x)}=\frac{c}{x}
Fazendo c=1 e igualando os dois casos, temos: x y_{2}^{\prime}-y_{2}=\frac{1}{x} \Rightarrow y_{2}^{\prime}-\frac{1}{x} y_{2}=\frac{1}{x^{2}}
Essa equação é linear e seu fator integrante é e^{-\int \frac{1}{x} d x}=e^{-\ln (x)}=\frac{1}{x}
Logo, temos \frac{1}{x} y_{2}^{\prime}-\frac{1}{x^{2}} y_{2}=\frac{1}{x^{3}} \Rightarrow \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{2}} y_{2}\right)=\frac{1}{x^{3}} \Rightarrow \frac{1}{x} y_{2}=\int x^{-3} d x \Rightarrow y_{2}=-\frac{1}{2 x}
Portanto, a solução geral é y=c_{1} x+c_{2} \frac{1}{2 x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
x^{2}y''+x y'-y=0,\qquad x>0,
e informa que y_{1}=x é uma solução. A tarefa é encontrar a solução geral da equação (ou seja, duas soluções linearmente independentes e a combinação linear delas).
Informações relevantes que temos:
A equação é definida para x>0.
Uma solução conhecida é \,y_{1}=x.
Precisamos achar uma segunda solução y_{2} linearmente independente de y_{1} e, então, escrever a solução geral y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}.
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática curta).
A equação tem coeficientes que são potências de x (termos x^{2},x,1). Para equações desse tipo (chamadas equações de Euler-Cauchy) o método mais simples é tentar uma solução do tipo
y=x^{m},
porque as derivadas de x^{m} têm potências de x que casam com os coeficientes, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para m. Vou mostrar isso passo a passo para você ver de onde vem tudo.
Passo 3
Aplicando a substituição y=x^{m}. Calcule as derivadas:
São duas raízes reais e distintas: m_{1}=1 e m_{2}=-1. Para uma equação de Euler-Cauchy, cada raiz dá uma solução independente x^{m}. Portanto duas soluções independentes são
y_{1}=x^{1}=x,\qquad y_{2}=x^{-1}=\frac{1}{x}.
Passo 5
Montando a solução geral. Como as duas soluções são linearmente independentes (mostrarei uma verificação rápida em seguida), a solução geral da equação homogênea é a combinação linear
y=c_{1}x+c_{2}\,x^{-1},
onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 6
Verificação rápida de independência e checagem (para você não ficar na dúvida).
Calcule o Wronskiano de y_{1}=x e y_{2}=1/x:
Como W\not\equiv 0 para x>0, as funções são linearmente independentes, confirmando que a solução geral acima está correta.
Também dá para checar diretamente que y=1/x satisfaz a equação: para y=1/x tem-se y'=-1/x^{2} e y''=2/x^{3}; substituindo em x^{2}y''+x y'-y obtemos x^{2}\cdot\frac{2}{x^{3}}+x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)-\frac{1}{x}= \frac{2}{x}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.]