Questão 01. ( 2,5 pontos) Uma certa colônia de bactérias aumenta a uma taxa proporcional a sua população atual. Depois de 1 hora, são observados 900 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 2700 núcleos. Determine:
(a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura em um tempo, t, arbitrário (b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura.
(a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura em um tempo, t, arbitrário (b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (peguei tudo do próprio enunciado):
- Informação 1: a população de núcleos de bactérias cresce a uma taxa proporcional à sua população atual.
- Informação 2: após
hora a população é núcleos, ou seja . - Informação 3: após
horas a população é núcleos, ou seja .
O enunciado pede:
(a) uma expressão para o número de núcleos no tempo arbitrário
;
(b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura, isto é .
(a) uma expressão para o número de núcleos
(b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura, isto é
Passo 2
Modelagem matemática (explicando cada símbolo). Quando a taxa de crescimento é proporcional à população, traduzimos isso por uma equação diferencial:
onde:
-
é o número de núcleos no tempo (unidade: núcleos), -
é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento) com unidade , -
é a taxa de variação de em relação ao tempo (núcleos por hora).
Essa equação diz: a variação instantânea da população é
vezes a própria população.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial passo a passo (separação de variáveis e integração). Começamos separando variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
(mais uma constante), e do direito é
(mais a mesma constante). Assim:
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para isolar
:
Definindo
(que é justamente
), obtemos a forma padrão:
Explicação:
é a população inicial (
), e
é o fator de crescimento exponencial.
Passo 4
Usando os dados para obter
e
. Substituímos os pontos dados na expressão
:
Temos duas equações em duas incógnitas
. Uma forma eficiente de eliminar
é dividir a segunda equação pela primeira.
Passo 5
Dividindo para achar
:
Logo
Tirando logaritmo natural dos dois lados:
Comentário útil: essa manipulação usa a propriedade
. A unidade de
é
porque
está em horas.
Passo 6
Agora encontramos
usando
. Da equação
temos
Substituindo
:
Usando a identidade
, obtemos
Se for necessário um valor decimal, calcule
, então
Interpretação: inicialmente havia aproximadamente
núcleos (arredondando para inteiro).
Passo 7
Escrever a expressão final para
substituindo
e
na fórmula
. Temos
Podemos simplificar a parte exponencial usando
, obtendo também a forma alternativa
Observação: as duas formas são equivalentes; a última é bem limpa e intuitiva: quando
dá
, quando
dá
.
Resposta
(a)
(b)