Questão 01. ( 2,5 pontos) Uma certa colônia de bactérias aumenta a uma taxa proporcional a sua população atual. Depois de 1 hora, são observados 900 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 2700 núcleos. Determine:
(a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura em um tempo, t, arbitrário (b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (peguei tudo do próprio enunciado):
  • Informação 1: a população de núcleos de bactérias cresce a uma taxa proporcional à sua população atual.
  • Informação 2: após 1 hora a população é 900 núcleos, ou seja N(1)=900.
  • Informação 3: após 4 horas a população é 2700 núcleos, ou seja N(4)=2700.
O enunciado pede:
(a) uma expressão para o número de núcleos N(t) no tempo arbitrário t;
(b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura, isto é N(0).

Passo 2

Modelagem matemática (explicando cada símbolo). Quando a taxa de crescimento é proporcional à população, traduzimos isso por uma equação diferencial:
\frac{dN}{dt} = k\,N,
onde:
  • \,N(t)\, é o número de núcleos no tempo t (unidade: núcleos),
  • \,k\, é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento) com unidade \text{h}^{-1},
  • \frac{dN}{dt} é a taxa de variação de N em relação ao tempo (núcleos por hora).
Essa equação diz: a variação instantânea da população é k vezes a própria população.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial passo a passo (separação de variáveis e integração). Começamos separando variáveis:
\frac{dN}{N} = k\,dt.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dN}{N} = \int k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln N (mais uma constante), e do direito é kt (mais a mesma constante). Assim:
\ln N = kt + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para isolar N:
N = e^{kt+C} = e^{C} e^{kt}.
Definindo N_0 := e^{C} (que é justamente N(0)), obtemos a forma padrão:
N(t) = N_0\,e^{k t}.
Explicação: N_0 é a população inicial ( t=0), e e^{kt} é o fator de crescimento exponencial.

Passo 4

Usando os dados para obter k e N_0. Substituímos os pontos dados na expressão N(t)=N_0 e^{kt}:
N(1)=N_0 e^{k}=900, \qquad N(4)=N_0 e^{4k}=2700.
Temos duas equações em duas incógnitas (N_0,k). Uma forma eficiente de eliminar N_0 é dividir a segunda equação pela primeira.

Passo 5

Dividindo para achar k:
\frac{N(4)}{N(1)}=\frac{N_0 e^{4k}}{N_0 e^{k}} = e^{3k} = \frac{2700}{900}=3.
Logo
e^{3k}=3.
Tirando logaritmo natural dos dois lados:
3k = \ln 3 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{3}\ln 3.
Comentário útil: essa manipulação usa a propriedade \ln(e^{x})=x. A unidade de k é \text{h}^{-1} porque t está em horas.

Passo 6

Agora encontramos N_0 usando N(1)=900. Da equação N(1)=N_0 e^{k}=900 temos
N_0 = 900\,e^{-k}.
Substituindo k=\dfrac{1}{3}\ln 3:
N_0 = 900\,e^{-\frac{1}{3}\ln 3}.
Usando a identidade e^{a\ln b}=b^{a}, obtemos
N_0 = 900\cdot 3^{-1/3}.
Se for necessário um valor decimal, calcule 3^{1/3}\approx 1{,}442249, então
N_0 \approx \frac{900}{1{,}442249}\approx 624{,}03.
Interpretação: inicialmente havia aproximadamente 624 núcleos (arredondando para inteiro).

Passo 7

Escrever a expressão final para N(t) substituindo N_0 e k na fórmula N(t)=N_0 e^{kt}. Temos
N(t)=\left(900\cdot 3^{-1/3}\right)\,e^{\left(\frac{1}{3}\ln 3\right)t}.
Podemos simplificar a parte exponencial usando e^{(\ln 3)t/3}=3^{t/3}, obtendo também a forma alternativa
N(t)=900\cdot 3^{-1/3}\cdot 3^{t/3}=900\cdot 3^{(t-1)/3}.
Observação: as duas formas são equivalentes; a última é bem limpa e intuitiva: quando t=1 900, quando t=4 900\cdot 3^{(4-1)/3}=900\cdot 3^{1}=2700.

Resposta

(a) N(t)=900\cdot 3^{(t-1)/3}
(b) N(0)=900\cdot 3^{-1/3}\approx 624{,}03

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