Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites internos são
. - Os limites externos são
. - A ordem de integração é primeiro em
(de a ) e depois em (de a ).
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Plano e regras que vamos usar (coisas importantes para a prova):
- Como a integranda é polinomial e contínua no retângulo dado, pode-se aplicar Fubini e calcular a integral iterada diretamente, integrando primeiro em
e depois em . - Propriedades úteis:
- Linearidade:
e constantes podem ser puxadas para fora da integral. - Integral de potência:
para . - Se uma expressão contém uma variável que é tratada como constante na integração (por exemplo
quando integramos em ), essa expressão pode ser tratada como número constante.
- Linearidade:
- Aplicando isso aqui: ao integrar em
a expressão , o termo é constante em relação a .
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Usando linearidade e regras de antiderivação:
Como
é constante em relação a
:
E
Portanto uma primitiva em
é
Avaliar entre
e
:
Calcule cada parte:
Subtraindo:
Logo o resultado da integral interna é
Passo 4
Agora integrar a expressão obtida em
no intervalo
:
Encontrar a primitiva em
:
Avaliar entre
e
:
Calcule cada parte:
Subtraindo:
Resposta
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