Resolva:
\int_{1}^{3} \int_{-1}^{2} 3 y-2 x^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{3}\int_{-1}^{2} 3y-2x^{2}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,3y-2x^{2}\,.
  • Os limites internos são x\in[-1,2].
  • Os limites externos são y\in[1,3].
  • A ordem de integração é primeiro em x (de -1 a 2) e depois em y (de 1 a 3).
    O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Plano e regras que vamos usar (coisas importantes para a prova):
  • Como a integranda é polinomial e contínua no retângulo dado, pode-se aplicar Fubini e calcular a integral iterada diretamente, integrando primeiro em x e depois em y.
  • Propriedades úteis:
    • Linearidade: \displaystyle \int (f+g)=\int f+\int g e constantes podem ser puxadas para fora da integral.
    • Integral de potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
    • Se uma expressão contém uma variável que é tratada como constante na integração (por exemplo y quando integramos em x), essa expressão pode ser tratada como número constante.
  • Aplicando isso aqui: ao integrar em x a expressão \,3y-2x^{2}\,, o termo 3y é constante em relação a x.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{-1}^{2} (3y-2x^{2})\,dx.
Usando linearidade e regras de antiderivação:
\int (3y-2x^{2})\,dx = \int 3y\,dx - \int 2x^{2}\,dx.
Como y é constante em relação a x:
\int 3y\,dx = 3y\int dx = 3y\cdot x.
E
\int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3}.
Portanto uma primitiva em x é
3y\cdot x - \frac{2}{3}x^{3}.
Avaliar entre x=-1 e x=2:
\Bigl[3y x - \frac{2}{3}x^{3}\Bigr]_{x=-1}^{x=2} = \left(3y\cdot 2 - \frac{2}{3}\cdot 2^{3}\right) - \left(3y\cdot(-1) - \frac{2}{3}\cdot(-1)^{3}\right).
Calcule cada parte:
3y\cdot 2 - \frac{2}{3}\cdot 8 = 6y - \frac{16}{3},
3y\cdot(-1) - \frac{2}{3}\cdot(-1)^{3} = -3y + \frac{2}{3}.
Subtraindo:
\left(6y - \frac{16}{3}\right) - \left(-3y + \frac{2}{3}\right) = 6y - \frac{16}{3} + 3y - \frac{2}{3} = 9y - \frac{18}{3} = 9y - 6.
Logo o resultado da integral interna é
\int_{-1}^{2} (3y-2x^{2})\,dx = 9y-6.

Passo 4

Agora integrar a expressão obtida em y no intervalo [1,3]:
\int_{1}^{3} (9y-6)\,dy.
Encontrar a primitiva em y:
\int (9y-6)\,dy = \frac{9}{2}y^{2} - 6y.
Avaliar entre y=1 e y=3:
\Bigl[\frac{9}{2}y^{2}-6y\Bigr]_{1}^{3} = \left(\frac{9}{2}\cdot 3^{2} - 6\cdot 3\right) - \left(\frac{9}{2}\cdot 1^{2} - 6\cdot 1\right).
Calcule cada parte:
\frac{9}{2}\cdot 9 - 18 = \frac{81}{2} - 18 = \frac{81-36}{2} = \frac{45}{2},
\frac{9}{2}\cdot 1 - 6 = \frac{9}{2} - 6 = \frac{9-12}{2} = -\frac{3}{2}.
Subtraindo:
\frac{45}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{45+3}{2} = \frac{48}{2} = 24.

Resposta

24

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