Questão 02 (2.0 pontos): A tensão admissível é de 50 MPa na barra de aço A B e de 25 MPa na barra de alumínio BC . Sabendo que um torque de intensidade \mathrm{T}=1 \mathrm{kN} . \mathrm{m}\ é aplicado em A , determine o diâmetro necessário da barra BC

Passo 1

O enunciado dá um torque T=1\text{ kN\cdotm} aplicado em A, que é transmitido pela barra de aço AB e pela barra de alumínio BC. As tensões máximas admissíveis são
\tau_{adm,\text{aço}}=50\text{ MPa}, \qquad \tau_{adm,\text{alum}}=25\text{ MPa}.ç
Como queremos o diâmetro de BC, vamos usar a relação de torção para um eixo circular maciço, que liga o torque T à tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max}.

Passo 2

Para um eixo circular sólido de diâmetro d, o momento polar de inércia é
J=\frac{\pi d^4}{32},
e o raio externo é c=d/2. A tensão máxima de cisalhamento é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J} =\frac{T\,(d/2)}{\pi d^4/32} =\frac{16\,T}{\pi\,d^3}.

Passo 3

Queremos \tau_{\max}\le\tau_{adm,\text{alum}}. Assim,
\tau_{adm,\text{alum}} =\frac{16\,T}{\pi\,d^3} \quad\Longrightarrow\quad d^3=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{adm,\text{alum}}} \quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt[3]{\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{adm,\text{alum}}}}.

Passo 4

Convertendo unidades para milímetros:
T=1\text{ kN\cdotm}=1\times10^3\text{ N}\times10^3\text{ mm}=1\times10^6\text{ N\cdotmm}, \qquad \tau_{adm,\text{alum}}=25\text{ MPa}=25\text{ N/mm}^2.
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d =\sqrt[3]{\frac{16\,(1\times10^6)}{\pi\,(25)}} \approx\sqrt[3]{2{,}04\times10^5} \approx59{,}2\text{ mm}.

Resposta

O diâmetro necessário da barra de alumínio BC é aproximadamente d\approx59{,}2\text{ mm}.

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