Questão 02 (2.0 pontos): A tensão admissível é de 50 MPa na barra de aço A B e de 25 MPa na barra de alumínio BC . Sabendo que um torque de intensidade \mathrm{T}=1 \mathrm{kN} . \mathrm{m}\ é aplicado em A , determine o diâmetro necessário da barra AB

Passo 1

O enunciado descreve duas barras coaxiais submetidas ao mesmo torque T: a barra de aço AB (tensão admissível \,50\\ \mathrm{MPa}) e a barra de alumínio BC (tensão admissível \,25\\ \mathrm{MPa}). Queremos o diâmetro d da barra AB. Como ambas transmitem o mesmo torque, basta garantir que nenhuma ultrapasse sua tensão admissível de torção.

Passo 2

Para um eixo circular sólido submetido a torque, a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max} \;=\; \frac{T\,c}{J}
onde c = d/2 e J = \pi d^4/32. Substituindo, obtém-se
\tau_{\max} =\frac{T\,(d/2)}{\pi d^4/32} =\frac{16\,T}{\pi\,d^3}.
Logo, para não exceder a tensão admissível \tau_{adm} temos
\frac{16\,T}{\pi\,d^3}\;\le\;\tau_{adm} \quad\Longrightarrow\quad d^3 \;\ge\;\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{adm}}.

Passo 3

A barra de alumínio é a mais crítica (menor \tau_{adm}). Então usamos \tau_{adm,Al}=25\times10^6\\ \mathrm{Pa} e T=1\times10^3\\ \mathrm{N\cdot m}:
d^3 \;\ge\; \frac{16\,(1\times10^3)}{\pi\,(25\times10^6)} =\frac{1{,}6\times10^4}{7{,}85398\times10^7} \approx2{,}037\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Extraindo a raiz cúbica:
d \;\ge\;(2{,}037\times10^{-4})^{1/3} \approx5{,}90\times10^{-2}\\ \mathrm{m} =59{,}0\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Para esse d, a tensão na barra de aço seria
\tau_{aço} =\frac{16\,T}{\pi\,d^3} =\frac{16\times10^3}{\pi\,(0{,}059)^3} \approx24{,}9\\ \mathrm{MPa} \;<\;50\\ \mathrm{MPa},ç
logo atende também ao limite do aço.

Resposta

O diâmetro necessário da barra AB é d=59{,}0\\ \mathrm{mm}.

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