Questão 02) Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do * 25 pontos R^wed>= n ?
  • R^wed>= n significa " R " elevado a " n "
a) O conjunto dos vetores em R^wed>= n cujas as coordenadas formam uma P.A. (progressão aritmética);
b) 0 conjunto dos vetores em Rn cujas coordenadas formam uma P.G.(progressão geométrica).
c) O conjunto dos vetores em Rn cujas coordenadas formam uma P.A. de razão fixada.
d) O conjunto dos vetores em Rn cujas coordenadas formam uma P.G. de razão fixada.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços de R^n:
a) vetores cujas coordenadas formam uma progressão aritmética (PA) de qualquer razão;
b) vetores cujas coordenadas formam uma progressão geométrica (PG) de qualquer razão;
c) vetores cujas coordenadas formam uma PA de razão fixa d;
d) vetores cujas coordenadas formam uma PG de razão fixa r.
Conteúdo: definição de subespaço vetorial em R^n.

Passo 2

Lembrando que um subconjunto Wsubseteq R^n é subespaço vetorial se, e somente se:
  1. W contém o vetor zero;
  2. W é fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se uin W e lambdainR então lambda uin W.

Passo 3

Análise do item (a): seja
Wa = ,v=(v1,dots,vn)inR^n : vi+1-vi = d para algum dinR
  1. O vetor zero (0,dots,0) tem diferença 0, logo está em Wa.
  2. Se u e v são PA de razões du e dv, então em u+v as diferenças são
(ui+1+vi+1) - (ui+vi) = (ui+1-ui) + (vi+1-vi) = du + dv,
logo u+v é PA de razão du+dv.
3. Se u é PA de razão du e lambdainR, então
(lambda u)i+1 - (lambda u)i = lambda(ui+1-ui) = lambda du,
portanto lambda u é PA de razão lambda du.
Conclusão: Wa satisfaz 1–3, logo é subespaço.

Passo 4

Análise do item (b): seja
Wb = ,v=(v1,dots,vn)inR^n : vi+1/vi = r para algum rinR
  1. O vetor zero (0,dots,0) pode ser visto como PG com r qualquer, mas
  2. A soma de duas PG’s de razões r1 e r2, digamos ui = a,r1^,i-1 e vi = b,r2^,i-1, gera
(u+v)i = a,r1^,i-1 + b,r2^,i-1,
que em geral não é da forma c,r^,i-1 (não é uma PG).
Portanto Wb falha na clausura sob adição e não é subespaço.

Passo 5

Análise do item (c): seja
Wc = ,vinR^n : vi+1-vi = d para uma razão fixa d ã
  1. O vetor zero só está em Wc se d=0. Se dneq0, nem o zero está em Wc, então já falha.
  2. Mesmo que d=0, Wc seria o conjunto dos vetores constantes, que é subespaço. Mas para dneq0, Wc não contém o zero e também não é fechado sob multiplicação escalar (multiplicar uma PA de razão d por lambda muda a razão para lambda dneq d).
    Conclusão: para razão fixa dneq0, Wc não é subespaço (e só seria subespaço no caso trivial d=0).

Passo 6

Análise do item (d): seja
Wd = ,vinR^n : vi = a,r^,i-1 para razão fixa r ã
  1. Escolhendo a=0 obtemos o vetor zero, logo 0in Wd.
  2. Se ui = a,r^,i-1 e vi = b,r^,i-1, então
(u+v)i = (a+b),r^,i-1,
ou seja, u+vin Wd com novo parâmetro a+b.
3. Para lambdainR,
(lambda u)i = lambda a,r^,i-1,
logo lambda uin Wd.
Conclusão: Wd satisfaz os três critérios e é subespaço (é a reta gerada pelo vetor (1,r,r^2,dots,r^n-1)).

Resposta

(a) e (d) são subespaços vetoriais de R^n.
(b) e (c) não são subespaços (exceto o caso trivial d=0 em (c), mas esse não é o enunciado geral).

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