Questão 02) Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do * 25 pontos
?
-
significa " R " elevado a " n "
a) O conjunto dos vetores em
cujas as coordenadas formam uma P.A. (progressão aritmética);
b) 0 conjunto dos vetores em Rn cujas coordenadas formam uma P.G.(progressão geométrica).
c) O conjunto dos vetores em Rn cujas coordenadas formam uma P.A. de razão fixada.
d) O conjunto dos vetores em Rn cujas coordenadas formam uma P.G. de razão fixada.
b) 0 conjunto dos vetores em Rn cujas coordenadas formam uma P.G.(progressão geométrica).
c) O conjunto dos vetores em Rn cujas coordenadas formam uma P.A. de razão fixada.
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
:
a) vetores cujas coordenadas formam uma progressão aritmética (PA) de qualquer razão;
b) vetores cujas coordenadas formam uma progressão geométrica (PG) de qualquer razão;
c) vetores cujas coordenadas formam uma PA de razão fixa ;
d) vetores cujas coordenadas formam uma PG de razão fixa .
a) vetores cujas coordenadas formam uma progressão aritmética (PA) de qualquer razão;
b) vetores cujas coordenadas formam uma progressão geométrica (PG) de qualquer razão;
c) vetores cujas coordenadas formam uma PA de razão fixa
d) vetores cujas coordenadas formam uma PG de razão fixa
Conteúdo: definição de subespaço vetorial em
.
Passo 2
Lembrando que um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se:
-
contém o vetor zero; -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Passo 3
Análise do item (a): seja
- O vetor zero
tem diferença , logo está em . - Se
e são PA de razões e , então em as diferenças são
logo
é PA de razão
.
3. Se é PA de razão
e
, então
3. Se
portanto
é PA de razão
.
Conclusão: satisfaz 1–3, logo é subespaço.
Conclusão:
Passo 4
Análise do item (b): seja
- O vetor zero
pode ser visto como PG com qualquer, mas - A soma de duas PG’s de razões
e , digamos e , gera
que em geral não é da forma
(não é uma PG).
Portanto falha na clausura sob adição e não é subespaço.
Portanto
Passo 5
Análise do item (c): seja
- O vetor zero só está em
se . Se , nem o zero está em , então já falha. - Mesmo que
, seria o conjunto dos vetores constantes, que é subespaço. Mas para , não contém o zero e também não é fechado sob multiplicação escalar (multiplicar uma PA de razão por muda a razão para ).
Conclusão: para razão fixa, não é subespaço (e só seria subespaço no caso trivial ).
Passo 6
Análise do item (d): seja
- Escolhendo
obtemos o vetor zero, logo . - Se
e , então
ou seja,
com novo parâmetro
.
3. Para ,
3. Para
logo
.
Conclusão: satisfaz os três critérios e é subespaço (é a reta gerada pelo vetor
).
Conclusão:
Resposta
(a) e (d) são subespaços vetoriais de
.
(b) e (c) não são subespaços (exceto o caso trivial em (c), mas esse não é o enunciado geral).
(b) e (c) não são subespaços (exceto o caso trivial