1. O ângulo entre os vetores a e b é 60^circ e seus comprimentos são, respectivamente, 1 e 2. Sendo u=a+b e v=a-b, calcule |u times v|. Resp: 2 raiz3.
  2. Calcule (raiz2 u-raiz3 v+w) times(-raiz6 u+3 v-raiz3 w).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial
(raiz2,vec u ;-;raiz3,vec v;+;vec w) times (-raiz6,vec u ;+;3,vec v;-;raiz3,vec w)
O conteúdo que vamos usar é a bilinearidade e antissimetria do produto vetorial, além de escolher vec u,vec v,vec w como uma base ortonormal direta, de modo que
vec utimesvec v=vec w, vec vtimesvec w=vec u, vec wtimesvec u=vec v,
e vec Xtimesvec X=vec0 para qualquer vetor vec X.

Passo 2

Aplicamos a bilinearidade, expandindo em nove termos:
&(raiz2,vec u)times(-raiz6,vec u) +(raiz2,vec u)times(3,vec v) +(raiz2,vec u)times(-raiz3,vec w) &+(-raiz3,vec v)times(-raiz6,vec u) +(-raiz3,vec v)times(3,vec v) +(-raiz3,vec v)times(-raiz3,vec w) &+(vec w)times(-raiz6,vec u) +(vec w)times(3,vec v) +(vec w)times(-raiz3,vec w)

Passo 3

Eliminamos os termos em que se faz vec Xtimesvec X, pois são nulos:
(raiz2,vec u)times(-raiz6,vec u)=0, (-raiz3,vec v)times(3,vec v)=0, (vec w)times(-raiz3,vec w)=0

Passo 4

Calculamos os demais usando antissimetria e as relações cíclicas:
(raiz2,vec u)times(3,vec v) &=3raiz2,(vec utimesvec v)=3raiz2,vec w, (raiz2,vec u)times(-raiz3,vec w) &=-raiz6,(vec utimesvec w)=-raiz6(-vec v)=raiz6,vec v, (-raiz3,vec v)times(-raiz6,vec u) &=+!3raiz2,(vec vtimesvec u)=3raiz2(-vec w)=-3raiz2,vec w, (-raiz3,vec v)times(-raiz3,vec w) &=+3,(vec vtimesvec w)=3,vec u, (vec w)times(-raiz6,vec u) &=-raiz6,(vec wtimesvec u)=-raiz6,vec v, (vec w)times(3,vec v) &=3,(vec wtimesvec v)=3(-vec u)=-3,vec u

Passo 5

Agora somamos os resultados:
vec u-coefs: &3 +(-3)=0, vec v-coefs: &raiz6+(-raiz6)=0, vec w-coefs: &3raiz2+(-3raiz2)=0
Logo todos os componentes cancelam.

Resposta

vec0

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