Encontrar o vetor \vec{r} :
3 \vec{w}+2 \vec{v}=5 \vec{r}+4 \vec{u}

Passo 1

O enunciado dá a relação vetorial
3\vec{w}+2\vec{v}=5\vec{r}+4\vec{u}
e pede para encontrar \vec{r}. Ou seja, isolar \vec{r} em termos dos vetores \vec{w},\vec{v},\vec{u}.

Passo 2

Lembrete útil (propriedades de operações com vetores):
  • Se \vec{a}=\vec{b} então pode-se somar ou subtrair o mesmo vetor em ambos os lados: \vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{c}.
  • Pode-se multiplicar ambos os lados por um escalar k: k\vec{a}=k\vec{b}.
  • Dividir por um escalar k é o mesmo que multiplicar por 1/k, desde que k\neq0.
Aqui o objetivo é usar essas propriedades para “mover” os termos até ficar somente 5\vec{r} num lado e então dividir por 5.

Passo 3

Primeiro passo algébrico: eliminar o termo 4\vec{u} do lado direito subtraindo 4\vec{u} de ambos os lados. Aplicando a propriedade de soma/subtração de vetores obtemos
3\vec{w}+2\vec{v}-4\vec{u}=5\vec{r}.

Passo 4

Agora temos 5\vec{r} isolado no lado direito. Para obter \vec{r} basta dividir ambos os lados por 5 (ou multiplicar por 1/5), já que 5\neq0.

Passo 5

Aplicando a multiplicação pelo escalar 1/5 em ambos os lados e usando a distributividade do produto escalar sobre soma, obtemos
\vec{r}=\frac{1}{5}\bigl(3\vec{w}+2\vec{v}-4\vec{u}\bigr).

Passo 6

Forma alternativa equivalente, escrevendo os coeficientes separadamente:
\vec{r}=\frac{3}{5}\vec{w}+\frac{2}{5}\vec{v}-\frac{4}{5}\vec{u}.
Verificação rápida: multiplicando essa expressão por 5 e somando 4\vec{u} volta-se à igualdade inicial, confirmando que está correta.

Resposta

\vec{r}=\dfrac{1}{5}\bigl(3\vec{w}+2\vec{v}-4\vec{u}\bigr)

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