Questão 01. Sejam os vetores
e
. Determine:
a) o produto escalar dos vetores
e
.
b) o módulo do vetor
.
c) o ângulo entre os vetores
e
.
a) o produto escalar dos vetores
b) o módulo do vetor
c) o ângulo entre os vetores
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede três coisas:
- (a) o produto escalar de
e ; - (b) o módulo (norma) do vetor
; - (c) o ângulo entre
e .
As informações relevantes fornecidas são as componentes de cada vetor:
Passo 2
Definição e interpretação do produto escalar (dot product). Para vetores em
com componentes
e
, o produto escalar é dado por
Este resultado é um número real. Geometricamente,
, onde
é o ângulo entre os vetores (isso usaremos mais adiante).
Passo 3
Cálculo do produto escalar usando as componentes dadas. Substituindo:
Agora calculo termo a termo:
Somando:
Portanto
Passo 4
Definição e cálculo do módulo (norma) de um vetor. Para
,
Substituindo as componentes de
:
Calculo os quadrados:
Somando:
Logo
Passo 5
Para encontrar o ângulo vamos usar a fórmula
. Já temos
e
. Precisamos também de
. Calculo
para completar:
Calculo os quadrados:
Somando:
Então
Passo 6
Uso da relação entre produto escalar e ângulo. Temos
Substituindo os valores calculados:
Então
. O valor de
cujo cosseno é zero, no intervalo
, é
Interpretação intuitiva: produto escalar zero significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Resposta
a)
b)
c)