Questão 01. Sejam os vetores \vec{u}=(12,4,-3) e \vec{v}=(2,-9,-4). Determine:
a) o produto escalar dos vetores \vec{u} e \vec{v}.
b) o módulo do vetor \vec{u}.
c) o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(12,4,-3) e \vec{v}=(2,-9,-4) e pede três coisas:
  • (a) o produto escalar de \vec{u} e \vec{v};
  • (b) o módulo (norma) do vetor \vec{u};
  • (c) o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
As informações relevantes fornecidas são as componentes de cada vetor:
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(12,4,-3),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(2,-9,-4).

Passo 2

Definição e interpretação do produto escalar (dot product). Para vetores em \mathbb{R}^3 com componentes \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto escalar é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Este resultado é um número real. Geometricamente, \vec{u}\cdot\vec{v}= \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores (isso usaremos mais adiante).

Passo 3

Cálculo do produto escalar usando as componentes dadas. Substituindo:
\vec{u}\cdot\vec{v}=12\cdot 2 + 4\cdot(-9) + (-3)\cdot(-4).
Agora calculo termo a termo:
12\cdot 2 = 24,\qquad 4\cdot(-9)=-36,\qquad (-3)\cdot(-4)=12.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=24-36+12.
24-36=-12,\qquad -12+12=0.
Portanto
\vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Passo 4

Definição e cálculo do módulo (norma) de um vetor. Para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3),
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Substituindo as componentes de \vec{u}=(12,4,-3):
\|\vec{u}\|=\sqrt{12^2+4^2+(-3)^2}.
Calculo os quadrados:
12^2=144,\qquad 4^2=16,\qquad (-3)^2=9.
Somando:
144+16+9=169.
Logo
\|\vec{u}\|=\sqrt{169}=13.

Passo 5

Para encontrar o ângulo vamos usar a fórmula \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta. Já temos \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e \|\vec{u}\|=13. Precisamos também de \|\vec{v}\|. Calculo \|\vec{v}\| para completar:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-9)^2+(-4)^2}.
Calculo os quadrados:
2^2=4,\qquad (-9)^2=81,\qquad (-4)^2=16.
Somando:
4+81+16=101.
Então
\|\vec{v}\|=\sqrt{101}.

Passo 6

Uso da relação entre produto escalar e ângulo. Temos
\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}.
Substituindo os valores calculados:
\cos\theta=\dfrac{0}{13\cdot\sqrt{101}}=0.
Então \cos\theta=0. O valor de \theta cujo cosseno é zero, no intervalo [0,\pi], é
\theta=\frac{\pi}{2}\\ \text{rad}\quad\text{(ou)}\quad \theta=90^\circ.
Interpretação intuitiva: produto escalar zero significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Resposta

a) \vec{u}\cdot\vec{v}=0
b) \|\vec{u}\|=13
c) \theta=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}=90^\circ

Exercícios relacionados