Questão 02 -

Um trem tem comprimento próprio L e move-se com velocidade 5c/13 com relação à Terra. Uma bola é jogada da parte traseira do trem para a dianteira com velocidade de c/3 em relação ao trem. Para um observador na Terra, o tempo gasto pela bola no citado percurso vale:
a) 11 \mathrm{~L} / 3 \mathrm{c}.
b) 10 \mathrm{~L} / 3 \mathrm{c}.
c) 12 \mathrm{~L} / 13 \mathrm{c}.
d) 7 \mathrm{~L} / 3 \mathrm{c}.
e) 5 \mathrm{~L} / 2 \mathrm{c}.

Passo 1

O enunciado dá um trem de comprimento próprio L que se move na Terra com velocidade
v = \frac{5c}{13},
e uma bola lançada da parte traseira para a dianteira com velocidade relativa ao trem
u' = \frac{c}{3}.
Queremos o tempo \Delta t que a bola leva, medido por um observador terrestre. Para isso usaremos:
  1. contração de comprimento;
  2. adição relativística de velocidades;
  3. análise de alcance (chase).

Passo 2

Na Terra, o trem aparece contraído. Seu comprimento é
L' = \frac{L}{\gamma},
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (5/13)^2}} = \frac{13}{12}.
Logo
L' = \frac{12}{13}\,L.

Passo 3

A velocidade da bola no referencial da Terra é dada pela soma relativística
u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'\,v}{c^2}} = \frac{\tfrac{c}{3} + \tfrac{5c}{13}}{1 + \tfrac{c/3\cdot 5c/13}{c^2}} = \frac{\tfrac{1}{3} + \tfrac{5}{13}}{1 + \tfrac{5}{39}}\,c = \frac{\tfrac{28}{39}}{\tfrac{44}{39}}\,c = \frac{7}{11}\,c.

Passo 4

No referencial terrestre, no instante t=0 a bola está na traseira x=0 e a frente do trem em x=L'. Para achar o tempo em que a bola alcança a frente, igualamos posições:
u\,t = L' + v\,t \quad\Longrightarrow\quad t\,(u - v) = L' \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{L'}{u - v}.
Substituindo L' = \tfrac{12}{13}L, u = \tfrac{7}{11}c e v = \tfrac{5}{13}c, temos
u - v = \frac{7}{11}c - \frac{5}{13}c = \frac{36}{143}\,c,
portanto
t = \frac{\tfrac{12}{13}L}{\tfrac{36}{143}\,c} = \frac{12 \times 143}{13 \times 36}\,\frac{L}{c} = \frac{11}{3}\,\frac{L}{c}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{11L}{3c}.

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