QUESTÃO 02 (Valor: 10,0 pontos) - Qual o domínio da seguinte função?
f(x)=\frac{4}{\sqrt[2]{x^{2}-3 x+2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\dfrac{4}{\sqrt[2]{x^{2}-3x+2}}.
Informações relevantes fornecidas: a função é uma fração cuja parte de baixo é uma raiz quadrada de x^{2}-3x+2. A pergunta é apenas: qual o conjunto de valores de x para os quais f(x) está bem definida?

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados com calma):
  • Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão da função faz sentido como número real.
  • Para a raiz quadrada real \sqrt[2]{A} ser definida, o radicando A precisa ser maior ou igual a 0, ou seja, A\ge 0. Aqui A é x^{2}-3x+2.
  • Além disso, se a raiz aparece no denominador de uma fração, não podemos ter denominador igual a 0. Logo, não pode ocorrer \sqrt[2]{x^{2}-3x+2}=0.
    Juntando as duas condições: precisamos de
x^{2}-3x+2>0.
Expliquei: o radicando deve ser não negativo, mas como está no denominador deve ser estritamente positivo, por isso o símbolo >.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade x^{2}-3x+2>0. Primeiro fatoramos o polinômio:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
As raízes (zeros) dessa expressão são x=1 e x=2, pois nesses pontos cada fator fica zero.

Passo 4

Análise de sinais da expressão fatorada (x-1)(x-2):
  • A expressão muda de sinal apenas nas raízes x=1 e x=2. Então consideramos os intervalos gerados por essas raízes: (-\infty,1), (1,2) e (2,\infty).
  • Podemos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal de (x-1)(x-2):
    • Para x=0 (no intervalo (-\infty,1)): (0-1)(0-2)=(-1)(-2)=2>0. Logo é positivo nesse intervalo.
    • Para x=1{,}5 (no intervalo (1,2)): (1{,}5-1)(1{,}5-2)=(0{,}5)(-0{,}5)=-0{,}25<0. Logo é negativo nesse intervalo.
    • Para x=3 (no intervalo (2,\infty)): (3-1)(3-2)=(2)(1)=2>0. Logo é positivo nesse intervalo.
  • Conclusão: (x-1)(x-2)>0 quando x\in(-\infty,1) ou x\in(2,\infty). No intervalo [1,2] a expressão é \le 0.

Passo 5

Tratamento dos pontos x=1 e x=2: nesses pontos o radicando x^{2}-3x+2 é igual a 0, então \sqrt[2]{x^{2}-3x+2}=0 e isso tornaria o denominador zero. Portanto x=1 e x=2 devem ser excluídos do domínio.

Resposta

(-\infty,1)\cup(2,\infty)

Exercícios relacionados