QUESTÃO 02 (Valor: 10,0 pontos) - Qual o domínio da seguinte função?
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.
Informações relevantes fornecidas: a função é uma fração cuja parte de baixo é uma raiz quadrada de . A pergunta é apenas: qual o conjunto de valores de
para os quais
está bem definida?
Informações relevantes fornecidas: a função é uma fração cuja parte de baixo é uma raiz quadrada de
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados com calma):
- Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão da função faz sentido como número real. - Para a raiz quadrada real
ser definida, o radicando precisa ser maior ou igual a , ou seja, . Aqui é . - Além disso, se a raiz aparece no denominador de uma fração, não podemos ter denominador igual a
. Logo, não pode ocorrer .
Juntando as duas condições: precisamos de
Expliquei: o radicando deve ser não negativo, mas como está no denominador deve ser estritamente positivo, por isso o símbolo
.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
. Primeiro fatoramos o polinômio:
As raízes (zeros) dessa expressão são
e
, pois nesses pontos cada fator fica zero.
Passo 4
Análise de sinais da expressão fatorada
:
- A expressão muda de sinal apenas nas raízes
e . Então consideramos os intervalos gerados por essas raízes: , e . - Podemos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal de
: - Para
(no intervalo ): . Logo é positivo nesse intervalo. - Para
(no intervalo ): . Logo é negativo nesse intervalo. - Para
(no intervalo ): . Logo é positivo nesse intervalo.
- Para
- Conclusão:
quando ou . No intervalo a expressão é .
Passo 5
Tratamento dos pontos
e
: nesses pontos o radicando
é igual a
, então
e isso tornaria o denominador zero. Portanto
e
devem ser excluídos do domínio.