QUESTÃO 02 (Valor: 10,0 pontos) - Qual o domínio da seguinte função?
f(x)=\frac{3 x}{5-x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função f(x)=\frac{3x}{5-x}.
Informações relevantes que o enunciado dá: a expressão é uma fração cujo numerador é 3x e o denominador é 5-x. Não há raízes nem logaritmos na expressão, apenas uma razão (divisão).

Passo 2

Entendendo o que é domínio: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão da função faz sentido (ou seja, é possível calcular um valor real). Coisas que podem impedir um x de estar no domínio são, por exemplo: divisão por zero, radicais de índice par com argumento negativo, logaritmos com argumento não positivo, entre outros. Aqui, a única preocupação é a divisão: não podemos ter o denominador igual a zero.

Passo 3

Então impomos a condição de que o denominador não seja zero:
5-x \neq 0
Agora resolvemos essa desigualdade (na prática basta achar quando o denominador seria zero e excluir esse valor). Igualando a zero para ver qual x causa problema:
5-x=0
Subtraindo 5 dos dois lados:
-x=-5
Multiplicando por -1:
x=5
Portanto o denominador fica zero exatamente quando x=5, e esse valor deve ser excluído do domínio.

Passo 4

Concluímos que todos os demais números reais são permitidos. Podemos escrever o domínio de duas formas equivalentes: em notação de conjunto e em notação intervalar. Em notação de conjunto:
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 5\}
Em notação intervalar:
(-\infty,5)\cup(5,\infty)
Exemplos rápidos para checar: para x=0 temos f(0)=0 (ok); para x=4 temos f(4)=\frac{12}{1}=12 (ok); para x=6 temos f(6)=\frac{18}{-1}=-18 (ok); para x=5 a expressão é indefinida porque dá divisão por zero.

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 5\}
(-\infty,5)\cup(5,\infty)

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