QUESTÃO 09 (Valor: 15,0 pontos) - Derive as seguintes funções, simplificando o resultado o máximo possível:
(5 ptos) f(x)=\cos ^{2}(\ln x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função f(x)=\cos^{2}(\ln x).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • A função é f(x)=\cos^{2}(\ln x).\n
  • Precisamos encontrar f'(x) e simplificar o resultado o máximo possível.\n
  • Observação sobre domínio: como aparece \ln x, a expressão só está definida para x>0.

Passo 2

Vamos ver como a função é formada (quais são as funções “dentro” dela). É uma composição em camadas. Definimos:\n
  • h(x)=\ln x (a função mais interna),\n
  • g(u)=\cos u com u=h(x),\n
  • e f(x)=(g(h(x)))^{2}=(\cos(\ln x))^{2}.\n
    Ou seja, temos uma função do tipo “uma potência (ao quadrado) aplicada ao coseno de \ln x”.

Passo 3

Vou ensinar a regra que vamos usar: a regra da cadeia combinada com a regra da potência.\n
Regra da potência (simples): se F(t)=t^{n}, então F'(t)=n\,t^{n-1}.\n
Regra da cadeia (simples): se f(x)=F(G(x)), então f'(x)=F'(G(x))\cdot G'(x).\n
Combinando: se f(x)=(g(h(x)))^{2}, podemos pensar em F(t)=t^{2} com t=g(h(x)). Então\n f'(x)=2\big(g(h(x))\big)^{1}\cdot g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui cada parte significa:\n
  • 2 vem da derivada da potência,\n
  • \big(g(h(x))\big)^{1} é a função original sem o expoente 2 (ou seja, \cos(\ln x)),\n
  • g'(h(x)) é a derivada do coseno avaliada em h(x),\n
  • h'(x) é a derivada de \ln x.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas das partes internas:\n
  • Derivada de g(u)=\cos u é g'(u)=-\sin u. Então g'(h(x))=-\sin(h(x))=-\sin(\ln x).\n
  • Derivada de h(x)=\ln x é h'(x)=\dfrac{1}{x} (válido para x>0).\n
    Aplicando a fórmula da etapa anterior obtemos:\n
f'(x)=2\big(\cos(\ln x)\big)\cdot\big(-\sin(\ln x)\big)\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Agora simplificamos a expressão multiplicando os fatores constantes e sinais:\n
f'(x)= -\frac{2}{x}\,\cos(\ln x)\,\sin(\ln x).
Expliquei cada passo: o sinal negativo veio de -\sin(\ln x) e o fator \dfrac{1}{x} vem de h'(x).

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais usando uma identidade trigonométrica muito útil: para qualquer ângulo \theta,\n
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Tomando \theta=\ln x obtemos 2\sin(\ln x)\cos(\ln x)=\sin(2\ln x).\n
Substituindo isso em f'(x) temos:\n
f'(x)=-\frac{1}{x}\,\sin\big(2\ln x\big).

Passo 7

Comentário final curto e incentivo: pronto — chegamos a uma forma bem enxuta e prática para a prova. Lembre-se: passos típicos são identificar as camadas, aplicar potência + cadeia, derivar cada camada (aqui \cos e \ln) e usar identidades trigonométricas para simplificar. Você conseguiu — continue praticando que vai ficar mais natural!

Resposta

-\dfrac{1}{x}\sin\big(2\ln x\big)

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