QUESTÃO 09 (Valor: 15,0 pontos) - Derive as seguintes funções, simplificando o resultado o máximo possível:
(5 ptos)
(5 ptos)
Passo 1
O enunciado pede para derivar e simplificar a função
.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
- A função é
.\n - Precisamos encontrar
e simplificar o resultado o máximo possível.\n - Observação sobre domínio: como aparece
, a expressão só está definida para .
Passo 2
Vamos ver como a função é formada (quais são as funções “dentro” dela). É uma composição em camadas. Definimos:\n
-
(a função mais interna),\n -
com ,\n - e
.\n
Ou seja, temos uma função do tipo “uma potência (ao quadrado) aplicada ao coseno de”.
Passo 3
Vou ensinar a regra que vamos usar: a regra da cadeia combinada com a regra da potência.\n
Regra da potência (simples): se , então
.\n
Regra da cadeia (simples): se , então
.\n
Regra da potência (simples): se
Regra da cadeia (simples): se
Combinando: se
, podemos pensar em
com
. Então\n
Aqui cada parte significa:\n
-
vem da derivada da potência,\n -
é a função original sem o expoente 2 (ou seja, ),\n -
é a derivada do coseno avaliada em ,\n -
é a derivada de .
Passo 4
Agora calculamos as derivadas das partes internas:\n
- Derivada de
é . Então .\n - Derivada de
é (válido para ).\n
Aplicando a fórmula da etapa anterior obtemos:\n
Passo 5
Agora simplificamos a expressão multiplicando os fatores constantes e sinais:\n
Expliquei cada passo: o sinal negativo veio de
e o fator
vem de
.
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais usando uma identidade trigonométrica muito útil: para qualquer ângulo
,\n
Tomando
obtemos
.\n
Substituindo isso em temos:\n
Substituindo isso em
Passo 7
Comentário final curto e incentivo: pronto — chegamos a uma forma bem enxuta e prática para a prova. Lembre-se: passos típicos são identificar as camadas, aplicar potência + cadeia, derivar cada camada (aqui
e
) e usar identidades trigonométricas para simplificar. Você conseguiu — continue praticando que vai ficar mais natural!