QUESTÃO 03 : ( 12 pontos) Considere p(x)=x^{3}-x^{2}-4.
(i) Fatore p(x).
(ii) Encontre o domínio de g(x)=\frac{\sqrt{x^{3}-x^{2}-4}}{\sqrt{-x+5}}+e^{\sqrt{-x^{2}+8 x-15}}.
(iii) Simplifique a expressão \frac{\left(x^{3}-x^{2}-4\right)(x-3)}{x^{2}-5 x+6}.
(iv) Esboce o gráfico de f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(x^{3}-x^{2}-4\right)(x-3)}{x^{2}-5 x+6}, & \text { se } x<0 \\\\ 4, & \text { se } 0 \leq x<1 \\\ \ln x, & \text { se } x \geq 1\end{array} \quad\right..
Passo 1
O enunciado dá o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2}-4\) e pede quatro coisas separadas:
(i) fatorar \(p(x)\);
(ii) encontrar o domínio da função
\[g(x)=\frac{\sqrt{x^{3}-x^{2}-4}}{\sqrt{-x+5}}+e^{\sqrt{-x^{2}+8 x-15}};
O polinômio é p(x)=x^{3}-x^{2}-4\].
- A expressão da parte racional que aparece em (iii) e no ramo \(x<0 de f é exatamente \dfrac{(x^{3}-x^{2}-4)(x-3)}{x^{2}-5x+6}.
- Para o domínio de g é necessário cuidar dos radicais (argumentos \ge 0) e do denominador (não pode ser zero).]
logo x=2 é raiz. Isso significa que (x-2) é fator de p(x).
Faço a divisão sintética (ou divisão de polinômios) por x-2. Usando coeficientes de x^3,x^2,x,\,constante: 1,\,-1,\,0,\,-4.
Divisão sintética com 2:
Trago 1.
Multiplico 2\cdot 1=2. Somo com -1 e obtenho 1.
Multiplico 2\cdot 1=2. Somo com 0 e obtenho 2.
Multiplico 2\cdot 2=4. Somo com -4 e obtenho 0 (resto).
Resultado da divisão: quociente x^{2}+x+2. Portanto
p(x)=(x-2)(x^{2}+x+2).
Verificação dos fatores e observação: o discriminante do quadrático é \Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot2=1-8=-7<0, então x^{2}+x+2 não tem raízes reais (é sempre positiva para todo x). Conclusão final (fatoração sobre os reais):
Para \sqrt{\text{algo}} precisamos de \text{algo}\ge 0.
No quociente \dfrac{\sqrt{\cdot}}{\sqrt{\cdot}} o denominador não pode ser zero, então precisamos de \sqrt{-x+5}>0, ou equivalentemente -x+5>0 (estritamente).
A função exponencial e^{\sqrt{\cdot}} exige apenas que o conteúdo da raiz seja \ge 0.
Assim as condições são:
A: x^{3}-x^{2}-4 \ge 0 (para a raiz do numerador),
B: -x+5>0 (denominador estritamente positivo),
C: -x^{2}+8x-15 \ge 0 (para a raiz no expoente).
Vamos resolver cada uma.
Condição A: x^{3}-x^{2}-4\ge 0.
Usando a fatoração do passo anterior:
x^{3}-x^{2}-4=(x-2)(x^{2}+x+2).
Como x^{2}+x+2>0 para todo x (discriminante negativo e coeficiente líder positivo), o sinal do produto é o sinal de (x-2). Assim
Voltando ao radicando original, C é [3,5]. Mas lembrar da condição B que exige x<5, então em conjunto C com B dá 3\le x<5 (pois x=5 seria excluído pelo denominador).
Agora intersectamos A, B, C:
A = [2,\infty),
B∩C = [3,5).
A ∩ (B∩C) = [2,\infty)\cap[3,5)=[3,5).
Conclusão: o domínio de g é
\boxed{[3,5).}
Observação intuitiva: para x<3 o termo do expoente \sqrt{-x^{2}+8x-15} não existe (radicando negativo), então esses x ficam fora; para x\ge 5 o denominador zera ou fica negativo, então também fora. Entre 3 e 5 (com 5 excluído) tudo está bem.
Usando a fatoração do Passo 2: x^{3}-x^{2}-4=(x-2)(x^{2}+x+2). Além disso, fatoro o denominador:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Substituindo:
\frac{(x-2)(x^{2}+x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}.
Cancelam-se os fatores comuns (x-2) e (x-3), desde que se observe a restrição: não podemos cancelar sem lembrar que a expressão original tem x\neq 2 e x\neq 3 (pois ali o denominador original seria zero). Após cancelamento obtemos a forma simplificada
x^{2}+x+2,
com a advertência de que a simplificação é válida para x\neq 2,3. Em termos de funções equivalentes por partes, a expressão racional original é igual a x^{2}+x+2 para todo x diferente de 2 e 3, mas nos pontos x=2 e x=3 a expressão original está indefinida (0/0), embora o limite exista e iguale ao valor do polinômio simplificado nesses pontos.
Primeiro uso a simplificação do passo anterior: para x<0 os pontos x=2 e x=3 não aparecem (estão fora dessa região), então na região x<0 a expressão racional coincide com o polinômio
x^{2}+x+2.
Logo o ramo para x<0 é a porção da parábola y=x^{2}+x+2 restrita a x<0.
Propriedades úteis da parábola y=x^{2}+x+2:
Coeficiente líder positivo (+1), abre para cima.
Vértice em x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5.
Valor no vértice: y(-0{,}5)=(-0{,}5)^{2}+(-0{,}5)+2=0{,}25-0{,}5+2=1{,}75.
Valor em x=0 (limite à esquerda) é y(0)=2.
Alguns pontos: y(-1)=1-1+2=2, y(-2)=4-2+2=4.
Portanto o ramo esquerdo é uma parábola que desce vindo do infinito (quando x\to -\infty, y\to+\infty), atinge mínimo y=1{,}75 em x=-0{,}5, e em x\to 0^{-} tem y\to 2. Como o ramo definido é só para x<0, o ponto (0,2) não pertence a esse ramo (é apenas limite à esquerda).
Para 0\le x<1: f(x)=4. Ou seja, no intervalo [0,1) o gráfico é a reta horizontal (segmento) no valor y=4. Em particular f(0)=4 (incluído) e o ponto é (0,4).
Comparando limites em x=0:
Limite pela esquerda: \lim_{x\to 0^-} f(x)=2.
Valor em 0 (pela definição): f(0)=4.
Logo há uma descontinuidade de salto em x=0 (salto de 2 para 4). No gráfico: ponto preenchido em (0,4) e a parábola chegando em (0,2) mas sem incluir esse ponto.
Para x\ge 1: f(x)=\ln x. Essa é a curva logarítmica natural, definida e contínua em [1,\infty). Em x=1, \ln 1=0, então f(1)=0 (o ponto (1,0) está incluído). No limite pela esquerda de 1 (do ramo constante), \lim_{x\to 1^-} f(x)=4. Assim há outro salto em x=1: do valor 4 (pela esquerda) para 0 (valor real em x=1). No gráfico: segmento horizontal chegando a (1,4) sem incluir esse ponto (pois o segmento é para x<1), e o ponto (1,0) preenchido vindo do ramo \ln x.
Comportamento resumido e pontos chave para o esboço:
Para x<0: desenhar a parábola y=x^{2}+x+2 (porção esquerda), mínima em (-0{,}5,1{,}75), valor limite em 0^{-} igual 2.
Em x=0: ponto preenchido (0,4); a parábola aproxima (0,2) mas não inclui.
Para 0<x<1: segmento horizontal em y=4.
Em x=1: ponto preenchido (1,0) (pois \ln 1=0); o segmento horizontal atinge y=4 em x\to1^{-} mas não inclui (1,4).
Para x>1: curva y=\ln x, crescente e suave, passando por (e,1), etc.
Gráfico qualitativo (o esboço): uma parábola à esquerda com mínimo em -0{,}5, chegado a (0,2) à esquerda; um salto para o ponto (0,4); segmento horizontal até x\to1^{-} com valor 4; um salto para (1,0); depois a curva \ln x para x\ge 1.]
Resposta
(i) p(x)=(x-2)(x^{2}+x+2).\n
(ii) [3,5).\n
(iii) x^{2}+x+2 para x\neq 2,3.\n
(iv) Para x<0: porção da parábola y=x^{2}+x+2 (mínimo em (-0{,}5,1{,}75), limite à esquerda em 0 é 2); em 0\le x<1: segmento horizontal y=4 (com f(0)=4); em x\ge 1: y=\ln x (com f(1)=0). Há salto em x=0 (de 2 para 4) e salto em x=1 (de 4 para 0).