QUESTÃO 02 : (4 pontos) Encontre a função afim y=f(x) cujo gráfico é a reta que passa pelos pontos P(-1,3) e Q(2,-4). E em seguida, esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a função afim y=f(x) cuja reta-gráfico passa pelos pontos P(-1,3) e Q(2,-4).
  • Esboçar o gráfico dessa reta.
Informações dadas:
  • Ponto P tem coordenadas (-1,3).
  • Ponto Q tem coordenadas (2,-4).

Passo 2

Modelo geral e o que cada parâmetro significa.
Uma função afim tem a forma
y=f(x)=ax+b,
onde:
  • \,a é o coeficiente angular (inclinação, ou “declive”) da reta: indica quanto a ordenada y varia quando x aumenta de uma unidade. Se a>0 a reta sobe (da esquerda para a direita); se a<0 a reta desce.
  • \,b é o coeficiente linear (intercepto em y): é o valor de y quando x=0.
Para achar a usando dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) usa-se a fórmula “subida sobre corrida”:
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular a usando P(-1,3) e Q(2,-4).
Colocando (x_1,y_1)=(-1,3) e (x_2,y_2)=(2,-4),
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-4-3}{2-(-1)}=\frac{-7}{3}=-\frac{7}{3}.
Interpretação: -\dfrac{7}{3} é negativo, então a reta desce da esquerda para a direita. Significa que se x aumentar de 3, y diminui de 7.

Passo 4

Determinar o coeficiente linear b.
Usa-se a equação y=ax+b com um dos pontos (vou usar P):
3 = a\cdot(-1)+b.
Substituindo a=-\dfrac{7}{3}:
3 = -\frac{7}{3}\cdot(-1)+b = \frac{7}{3}+b.
Isolando b:
b = 3 - \frac{7}{3} = \frac{9}{3}-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}.
Verificação rápida com Q: calcular a\cdot 2 + b = -\dfrac{7}{3}\cdot 2 + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{14}{3}+\dfrac{2}{3} = -\dfrac{12}{3}=-4, que é exatamente y_Q. Portanto está consistente.

Passo 5

Escrever a função final e formas alternativas.
A função afim procurada é
y=f(x)=-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}.
Forma equivalente multiplicando por 3:
3y=-7x+2 \quad\text{ou}\quad 7x+3y=2.

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo para desenhar rápido na prova).
Pontos importantes para marcar:
  • Os pontos dados: P(-1,3) e Q(2,-4) — marque-os e trace a reta que passa por ambos.
  • Intercepto em y (quando x=0): y(0)=\frac{2}{3}\approx 0,667. Marque o ponto (0,\tfrac{2}{3}).
  • Intercepto em x (quando y=0): resolvendo 0=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3}
x=\frac{2}{7}\approx 0,2857.
Marque o ponto (\tfrac{2}{7},0).
Dicas de escala e desenho:
  • Como os valores de intercepto são fracionários pequenos, escolha uma escala conveniente (por exemplo cada divisão no eixo y valendo 1 e marcar frações com um traço menor).
  • Trace dois desses pontos bem posicionados (por exemplo P e Q) e desenhe a reta passando por eles; a reta se estende infinitamente em ambas direções.

Resposta

y=f(x)=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3}
Esboço: reta que passa por P(-1,3) e Q(2,-4); interceptos y=\tfrac{2}{3} e x=\tfrac{2}{7}; coeficiente angular -\tfrac{7}{3}.

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