QUESTÃO 01 : (6 pontos) Para cada função abaixo, esboce o gráfico e encontre, se possível, a imagem, os zeros, os valores máximos e mínimos, e ainda, diga se elas são injetoras e/ou pares, ímpares ou nenhum dos dois.
f(x)=-x^{2}+4 x+5.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x) = -x^{2} + 4x + 5 e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que já temos:
  • Pedidos:
    • Esboçar o gráfico (dar instruções para desenhar).
    • Encontrar a imagem (o conjunto de valores possíveis de f(x)).
    • Encontrar os zeros (raízes) da função.
    • Encontrar os valores máximos e mínimos (se existirem).
    • Dizer se a função é injetora.
    • Dizer se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Informações dadas diretamente: a expressão algébrica f(x) = -x^{2} + 4x + 5. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Entendendo a forma geral e o que isso implica (sem fazer contas ainda).
  • Essa função é um polinômio quadrático do tipo \;f(x)=ax^{2}+bx+c\; com a=-1,\qquad b=4,\qquad c=5.
  • Para uma parábola com coeficiente a:
    • Se a>0, a parábola abre para cima (tem mínimo).
    • Se a<0, a parábola abre para baixo (tem máximo).
  • Aqui a=-1<0, logo a parábola abre para baixo e tem um máximo (mas não tem mínimo global).

Passo 3

Como achar o vértice (o ponto de máximo ou mínimo) passo a passo e porquê.
  • Fórmula do eixo de simetria / abscissa do vértice para f(x)=ax^{2}+bx+c: x_{v} = -\dfrac{b}{2a}.Explicação: é a coordenada x onde a derivada da parábola zera (ou onde a parábola muda de crescente para decrescente).
  • Aplicando aqui: x_{v} = -\dfrac{4}{2\cdot(-1)} = -\dfrac{4}{-2} = 2.
  • Agora calculo a ordenada do vértice f(x_{v})=f(2): f(2) = -(2)^{2} + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9.
  • Conclusão: o vértice é o ponto (2,9). Como a parábola abre para baixo, esse ponto é um máximo global: f_{\max}=9 atingido em x=2.

Passo 4

Encontrar os zeros (raízes) da função — método padrão de resolução de quadrática.
  • Para achar os zeros resolvemos a equação -x^{2} + 4x + 5 = 0.
  • Multiplico por -1 para facilitar: x^{2} - 4x - 5 = 0.
  • Uso a fórmula quadrática (ou fatoração quando possível). A fórmula geral dá as raízes x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},onde aqui, após multiplicar por -1, temos a=1, b=-4, c=-5. Mas é mais simples calcular o discriminante diretamente na forma x^{2}-4x-5: \Delta = (-4)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.
  • Como \Delta=36 (perfeito quadrado), as raízes são x = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{4 \pm 6}{2}.Logo x_{1} = \dfrac{4+6}{2} = \dfrac{10}{2} = 5, \qquad x_{2} = \dfrac{4-6}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1.
  • Conclusão: os zeros são x=-1 e x=5. (Isto significa que o gráfico corta o eixo x nesses pontos.)

Passo 5

Outros pontos úteis para esboçar o gráfico (y-intercept e eixo de simetria).
  • Interseção com o eixo y: f(0)= -0 + 0 + 5 = 5. Então o ponto (0,5) é o corte com o eixo y.
  • Eixo de simetria da parábola: a reta vertical \;x = x_{v} = 2\;. Isso ajuda a desenhar simetricamente.

Passo 6

Determinar a imagem (o conjunto de valores que f assume) e justificar.
  • A parábola abre para baixo e tem máximo f(2)=9. Assim f(x) pode assumir qualquer valor menor ou igual a 9.
  • Portanto a imagem (contradomínio efetivo) é \mathrm{Im}(f) = (-\infty,\,9].
  • Explicação didática: para x muito grandes em módulo, o termo -x^{2} domina e leva f(x) para -\infty; o maior valor possível ocorre no vértice.

Passo 7

Discussão sobre injetividade (o que é injetora e como verificar aqui).
  • Definição rápida e intuitiva: uma função é injetora quando dois x diferentes nunca dão o mesmo f(x).
  • Para uma parábola que não é monotônica em todo \mathbb{R} (tem uma parte crescente e outra decrescente), normalmente não é injetora em todo \mathbb{R} porque valores simétricos em relação ao eixo de simetria têm a mesma imagem.
  • No nosso caso, por exemplo f(1) = -1 + 4 + 5 = 8 e f(3) = -9 + 12 + 5 = 8. Já encontramos dois x distintos com o mesmo valor de f, logo a função NÃO é injetora em \mathbb{R}.
  • Observação útil para a prova: se restringirmos o domínio a um dos lados do vértice (por exemplo x\le 2 ou x\ge 2), a função torna-se monotônica nessas restrições e, portanto, injetora nessas restrições. Em resumo:
    • Não injetora em \mathbb{R}.
    • Injetora se restrita a (-\infty,2] ou a [2,\infty).

Passo 8

Verificação de paridade (par, ímpar ou nenhum).
  • Para ser par deve valer f(-x)=f(x) para todo x. Para ser ímpar deve valer f(-x)=-f(x) para todo x.
  • Calculo f(-x): f(-x) = -(-x)^{2} + 4(-x) + 5 = -x^{2} - 4x + 5.
  • Comparando:
    • f(x) = -x^{2} + 4x + 5,
    • f(-x) = -x^{2} - 4x + 5.
  • Observa-se que f(-x)\neq f(x) (porque os sinais dos termos lineares são opostos) e f(-x)\neq -f(x) (pois, por exemplo, o termo constante 5 impede isso). Logo a função NÃO é par nem ímpar — é nenhuma das duas.
  • Intuição geométrica: se fosse par, o gráfico seria simétrico em relação ao eixo y; aqui o eixo de simetria é x=2, não x=0, então não é par. Se fosse ímpar, teria simetria central em origem; claramente não ocorre.

Passo 9

Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções para fazer à mão, útil para a prova).
  1. Desenhe os eixos coordenados.
  2. Marque o vértice em (2,9).
  3. Trace a reta do eixo de simetria x=2 como guia pontilhada (opcional).
  4. Marque os zeros nos pontos (-1,0) e (5,0).
  5. Marque o intercepto com y em (0,5).
  6. Sabendo que é uma parábola que abre para baixo, desenhe uma curva suave passando pelo vértice, descendo através dos pontos marcados e tendendo para -\infty quando x\to\pm\infty.
  7. Verifique simetria: o ponto (0,5) deve ter seu par simétrico com respeito a x=2, que é (4,5) — de fato f(4)= -16 + 16 +5 =5, confirme isso se quiser pontos extras.

Resposta

Imagem: (-\infty,\,9]
Zeros: x=-1 e x=5
Valor máximo: f(2)=9. Não existe mínimo global (vai a -\infty).
É injetora? Não em \mathbb{R}. É injetora se restrita a (-\infty,2] ou a [2,\infty).
Paridade: nem par nem ímpar.

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