QUESTÃO 01 : (6 pontos) Para cada função abaixo, esboce o gráfico e encontre, se possível, a imagem, os zeros, os valores máximos e mínimos, e ainda, diga se elas são injetoras e/ou pares, ímpares ou nenhum dos dois.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que já temos:
- Pedidos:
- Esboçar o gráfico (dar instruções para desenhar).
- Encontrar a imagem (o conjunto de valores possíveis de
). - Encontrar os zeros (raízes) da função.
- Encontrar os valores máximos e mínimos (se existirem).
- Dizer se a função é injetora.
- Dizer se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
- Informações dadas diretamente: a expressão algébrica
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Entendendo a forma geral e o que isso implica (sem fazer contas ainda).
- Essa função é um polinômio quadrático do tipo
com - Para uma parábola com coeficiente
: - Se
, a parábola abre para cima (tem mínimo). - Se
, a parábola abre para baixo (tem máximo).
- Se
- Aqui
, logo a parábola abre para baixo e tem um máximo (mas não tem mínimo global).
Passo 3
Como achar o vértice (o ponto de máximo ou mínimo) passo a passo e porquê.
- Fórmula do eixo de simetria / abscissa do vértice para
: Explicação: é a coordenada onde a derivada da parábola zera (ou onde a parábola muda de crescente para decrescente). - Aplicando aqui:
- Agora calculo a ordenada do vértice
: - Conclusão: o vértice é o ponto
. Como a parábola abre para baixo, esse ponto é um máximo global: atingido em .
Passo 4
Encontrar os zeros (raízes) da função — método padrão de resolução de quadrática.
- Para achar os zeros resolvemos a equação
- Multiplico por
para facilitar: - Uso a fórmula quadrática (ou fatoração quando possível). A fórmula geral dá as raízes
onde aqui, após multiplicar por , temos , , . Mas é mais simples calcular o discriminante diretamente na forma : - Como
(perfeito quadrado), as raízes são Logo - Conclusão: os zeros são
e . (Isto significa que o gráfico corta o eixo nesses pontos.)
Passo 5
Outros pontos úteis para esboçar o gráfico (y-intercept e eixo de simetria).
- Interseção com o eixo
: . Então o ponto é o corte com o eixo . - Eixo de simetria da parábola: a reta vertical
. Isso ajuda a desenhar simetricamente.
Passo 6
Determinar a imagem (o conjunto de valores que
assume) e justificar.
- A parábola abre para baixo e tem máximo
. Assim pode assumir qualquer valor menor ou igual a . - Portanto a imagem (contradomínio efetivo) é
- Explicação didática: para
muito grandes em módulo, o termo domina e leva para ; o maior valor possível ocorre no vértice.
Passo 7
Discussão sobre injetividade (o que é injetora e como verificar aqui).
- Definição rápida e intuitiva: uma função é injetora quando dois
diferentes nunca dão o mesmo . - Para uma parábola que não é monotônica em todo
(tem uma parte crescente e outra decrescente), normalmente não é injetora em todo porque valores simétricos em relação ao eixo de simetria têm a mesma imagem. - No nosso caso, por exemplo
e . Já encontramos dois distintos com o mesmo valor de , logo a função NÃO é injetora em . - Observação útil para a prova: se restringirmos o domínio a um dos lados do vértice (por exemplo
ou ), a função torna-se monotônica nessas restrições e, portanto, injetora nessas restrições. Em resumo: - Não injetora em
. - Injetora se restrita a
ou a .
- Não injetora em
Passo 8
Verificação de paridade (par, ímpar ou nenhum).
- Para ser par deve valer
para todo . Para ser ímpar deve valer para todo . - Calculo
: - Comparando:
-
, -
.
-
- Observa-se que
(porque os sinais dos termos lineares são opostos) e (pois, por exemplo, o termo constante impede isso). Logo a função NÃO é par nem ímpar — é nenhuma das duas. - Intuição geométrica: se fosse par, o gráfico seria simétrico em relação ao eixo
; aqui o eixo de simetria é , não , então não é par. Se fosse ímpar, teria simetria central em origem; claramente não ocorre.
Passo 9
Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções para fazer à mão, útil para a prova).
- Desenhe os eixos coordenados.
- Marque o vértice em
. - Trace a reta do eixo de simetria
como guia pontilhada (opcional). - Marque os zeros nos pontos
e . - Marque o intercepto com
em . - Sabendo que é uma parábola que abre para baixo, desenhe uma curva suave passando pelo vértice, descendo através dos pontos marcados e tendendo para
quando . - Verifique simetria: o ponto
deve ter seu par simétrico com respeito a , que é — de fato , confirme isso se quiser pontos extras.
Resposta
Imagem:
Zeros: e
Valor máximo: . Não existe mínimo global (vai a
).
É injetora? Não em . É injetora se restrita a
ou a
.
Paridade: nem par nem ímpar.
Zeros:
Valor máximo:
É injetora? Não em
Paridade: nem par nem ímpar.