QUESTÃO 03. Uma amostra líquida de água de volume \mathrm{V}_{1}=1,00 \mathrm{~L} está a 20^{\circ} \mathrm{C} e sob pressão atmosférica \left(p_{1}=1,00 \mathrm{~atm}\right). A temperatura aumenta para 80^{\circ} \mathrm{C}\left(T_{2}\right) e a pressão é reduzida para p_{2}= 0,8 \mathrm{~atm}. Considere: \alpha=2,07 \times 10^{-4} \mathrm{~K}^{-1} e \kappa=45,3 \times 10^{-6} \mathrm{~atm}^{-1}.
a) Determine volume da água no final do processo.
b) Nas mesmas condições, se a substância em questão fosse o benzeno \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}\right), cujo \alpha=12,4 \times 10^{-4} \mathrm{K}^{-1} a 1 atm , o volume final do benzeno líquido seria menor ou maior que o volume da água. Justifique sua resposta com base nas interações intermoleculares.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume inicial: V_{1}=1,00\\ \mathrm{L}.
    • Temperatura inicial: T_{1}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final: T_{2}=80^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão inicial: p_{1}=1,00\\ \mathrm{atm}.
    • Pressão final: p_{2}=0,80\\ \mathrm{atm}.
    • Coeficiente de expansão térmica da água: \alpha=2,07\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}.
    • Compressibilidade isoterma (no enunciado chamada \kappa): \kappa=45,3\times10^{-6}\\ \mathrm{atm}^{-1}.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar o volume final da água V_{2} após aquecer de 20^\circ\mathrm{C} para 80^\circ\mathrm{C} e reduzir a pressão para 0,80\\ \mathrm{atm}.
    (b) Dizer se, sob as mesmas variações de temperatura e pressão, o volume final do benzeno líquido seria maior ou menor que o da água, sendo dado \alpha_{\text{benzeno}}=12,4\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}, e justificar por interações intermoleculares.

Passo 2

Vamos entender as grandezas físicas que ligam variação de volume a variação de temperatura e pressão — com calma e sem jargão.
  • O coeficiente de expansão térmica \alpha é definido por
\alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}.
Isto significa que, à pressão constante, uma variação pequena de temperatura \mathrm{d}T causa uma variação relativa do volume \mathrm{d}V/V=\alpha\,\mathrm{d}T.
  • A compressibilidade isoterma \kappa (às vezes chamada simplesmente de “compressibilidade”) é definida por
\kappa=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T}.
O sinal negativo está aí porque, normalmente, aumentar a pressão reduz o volume. Para uma variação pequena de pressão \mathrm{d}p (à temperatura constante), a variação relativa do volume é \mathrm{d}V/V=-\kappa\,\mathrm{d}p.
  • Combinando os dois efeitos (temperatura e pressão) para variações pequenas e assumindo que \alpha e \kappa são aproximadamente constantes no intervalo, obtemos a diferencial
\frac{\mathrm{d}V}{V}=\alpha\,\mathrm{d}T-\kappa\,\mathrm{d}p.
Isto diz: a fração de variação de volume é a soma da contribuição térmica (positiva se T aumenta) e da contribuição por pressão (positiva se a pressão diminui, porque \mathrm{d}p<0 torna -\kappa\mathrm{d}p>0).

Passo 3

Agora integramos a relação entre os dois estados finitos para obter V_{2} em função de V_{1}, sem resolver passo a passo por aproximação desnecessária.
  • Integrando \dfrac{\mathrm{d}V}{V}=\alpha\,\mathrm{d}T-\kappa\,\mathrm{d}p entre os estados 1 e 2 (assumindo \alpha e \kappa constantes nos intervalos):
\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)=\alpha\,(T_{2}-T_{1})-\kappa\,(p_{2}-p_{1}).
  • Isolando V_{2}:
V_{2}=V_{1}\,\exp\!\bigl(\alpha\,(T_{2}-T_{1})-\kappa\,(p_{2}-p_{1})\bigr).
Essa fórmula é a forma “exata” (dentro da aproximação de \alpha,\kappa constantes) e garante que tratamos corretamente efeitos combinados.

Passo 4

Calcular as variações numéricas necessárias (tudo devidamente organizado).
  • Variação de temperatura:
\Delta T=T_{2}-T_{1}=80^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=60\\ \mathrm{K}.
(obs.: diferenças em ^\circ\mathrm{C} e em \mathrm{K} são numericamente iguais.)
  • Variação de pressão:
\Delta p=p_{2}-p_{1}=0,80\\ \mathrm{atm}-1,00\\ \mathrm{atm}=-0,20\\ \mathrm{atm}.
  • Produto \alpha\,\Delta T:
\alpha\,\Delta T=(2,07\times10^{-4})\times60=0,01242.
  • Produto \kappa\,(p_{2}-p_{1}):
\kappa\,\Delta p=(45,3\times10^{-6})\times(-0,20)=-9,06\times10^{-6}.
  • Assim o expoente na exponencial é
\alpha\,\Delta T-\kappa\,\Delta p=0,01242-(-9,06\times10^{-6})=0,01242906.

Passo 5

Calcular V_{2} usando a fórmula exponencial e arredondar com coerência.
  • Aplicando
V_{2}=1,00\\ \mathrm{L}\times\exp(0,01242906).
  • Para calcular \exp(0,01242906) sem depender de calculadora complexa, usar a expansão em série até termo quadrático (bastante precisa para x\approx0{,}0124):
\mathrm{e}^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}, \qquad x=0,01242906.
  • Calcule x^{2}/2:
x^{2}=0,01242906^{2}\approx0,00015449, \qquad \frac{x^{2}}{2}\approx0,000077245.
  • Logo
\mathrm{e}^{x}\approx 1+0,01242906+0,000077245\approx1,01250631.
  • Portanto
V_{2}\approx1,00\\ \mathrm{L}\times1,01250631\approx1,01250631\\ \mathrm{L}.
  • Arredondando de forma coerente com os dados (inicial 1,00\\ \mathrm{L} com três algarismos significativos), podemos relatar V_{2}\approx1,01\\ \mathrm{L}. Se quiser mais dígitos, V_{2}\approx1,0125\\ \mathrm{L}.
Observação curta: a contribuição da diminuição de pressão é muito pequena aqui (ordem 10^{-5}) comparada ao efeito térmico (ordem 10^{-2}), por isso o aquecimento domina a expansão.

Passo 6

Responder item (b) qualitativamente com base nas interações intermoleculares e, se útil, estimativa simples.
  • O coeficiente de expansão do benzeno é \alpha_{\text{benzeno}}=12,4\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}, isto é muito maior que o da água \alpha_{\text{água}}=2,07\times10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}á. Isso significa que, para a mesma elevação de temperatura, o benzeno líquido aumenta seu volume muito mais que a água.
  • Interpretação por interações intermoleculares (a justificativa pedida):
    • Água: moléculas polares que formam ligações de hidrogênio fortes e extensa rede coerente. Essas forças coesivas mantêm as moléculas relativamente próximas e resistem à separação quando a temperatura sobe; portanto a água tem \alpha relativamente pequeno (expande pouco ao aquecer).
    • Benzeno: molécula apolar com interações dominadas por forças de dispersão (van der Waals), que são mais fracas do que as ligações de hidrogênio da água. Moléculas com forças intermoleculares mais fracas se afastam mais facilmente quando a energia térmica aumenta, levando a um \alpha maior e, portanto, a um aumento de volume maior sob aquecimento.
    • A redução de pressão tenderia também a aumentar volume, mas esse efeito é pequeno no enunciado; o fator decisivo é a diferença grande entre os \alpha.
  • Conclusão do item (b): o volume final do benzeno líquido seria maior que o volume final da água sob as mesmas variações de temperatura e pressão.

Resposta

V_{2}=1,0125\\ \mathrm{L}
Maior — o volume final do benzeno seria maior que o da água.

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