QUESTÃO 03- Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
, onde
.\n
Informações dadas: a função a transformar é e o parâmetro
é um número real. O objetivo é obter uma expressão fechada para
e indicar a região de convergência (quando necessário).
Informações dadas: a função a transformar é
Passo 2
Usamos uma identidade trigonométrica que simplifica muito o trabalho:
pode ser escrita em termos de
.\n
A identidade é derivada de . Isolando
obtemos
A identidade é derivada de
Aplicando isso com
obtemos
Essa transformação é útil porque transforma um quadrado de cosseno num somatório de funções mais simples (constante e cosseno), cujas transformadas conhecemos.
Passo 3
Usamos a linearidade da transformada de Laplace: se
então
Aplicando isso a
temos
Passo 4
Calculamos
. Por definição,
Para
a integral converge e é uma integral exponencial simples:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos
para
real. Uma forma rápida é usar exponencial complexa:
então
Para
essa integral é
Tomando a parte real:
Logo
No nosso caso
, então
Passo 6
Substituímos os resultados em
:
Podemos simplificar somando frações com denominador comum
. Calculando:
A região de convergência é
(porque cada termo individual precisa dessa condição).
Passo 7
Resumo prático para a prova: em vez de tentar integrar
diretamente, use a identidade de duplicação
, aplique linearidade e as transformadas padrão
e
. Isso evita contas chatas e economiza tempo.