QUESTÃO 03- Calcule
\mathcal{L}\left\{\cos ^{2}(a t)\right\}, a \in R

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de \cos^{2}(a t), onde a\in\mathbb{R}.\n
Informações dadas: a função a transformar é \cos^{2}(a t) e o parâmetro a é um número real. O objetivo é obter uma expressão fechada para \mathcal{L}\{\cos^{2}(a t)\} e indicar a região de convergência (quando necessário).

Passo 2

Usamos uma identidade trigonométrica que simplifica muito o trabalho: \cos^{2}x pode ser escrita em termos de \cos(2x).\n
A identidade é derivada de \cos(2x)=2\cos^{2}x-1. Isolando \cos^{2}x obtemos
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Aplicando isso com x=at obtemos
\cos^{2}(a t)=\frac{1+\cos(2a t)}{2}.
Essa transformação é útil porque transforma um quadrado de cosseno num somatório de funções mais simples (constante e cosseno), cujas transformadas conhecemos.

Passo 3

Usamos a linearidade da transformada de Laplace: se f(t)=\alpha g(t)+\beta h(t) então
\mathcal{L}\{f(t)\}=\alpha\mathcal{L}\{g(t)\}+\beta\mathcal{L}\{h(t)\}.
Aplicando isso a \cos^{2}(a t)=\tfrac{1}{2}\cdot 1+\tfrac{1}{2}\cos(2a t) temos
\mathcal{L}\{\cos^{2}(a t)\}=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{1\}+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{\cos(2a t)\}.

Passo 4

Calculamos \mathcal{L}\{1\}. Por definição,
\mathcal{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt.
Para \Re(s)>0 a integral converge e é uma integral exponencial simples:
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}.
Portanto
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}\qquad(\Re(s)>0).

Passo 5

Agora calculamos \mathcal{L}\{\cos(b t)\} para b real. Uma forma rápida é usar exponencial complexa:
\cos(b t)=\Re\{e^{i b t}\},
então
\mathcal{L}\{\cos(b t)\}=\Re\left\{\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{i b t}\,dt\right\}=\Re\left\{\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i b)t}\,dt\right\}.
Para \Re(s)>0 essa integral é
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i b)t}\,dt=\frac{1}{s-i b}.
Tomando a parte real:
\Re\left\{\frac{1}{s-i b}\right\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.
Logo
\mathcal{L}\{\cos(b t)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}\qquad(\Re(s)>0).
No nosso caso b=2a, então
\mathcal{L}\{\cos(2a t)\}=\frac{s}{s^{2}+4a^{2}}\qquad(\Re(s)>0).

Passo 6

Substituímos os resultados em \mathcal{L}\{\cos^{2}(a t)\}=\tfrac{1}{2}\mathcal{L}\{1\}+\tfrac{1}{2}\mathcal{L}\{\cos(2a t)\}:
\mathcal{L}\{\cos^{2}(a t)\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+4a^{2}}.
Podemos simplificar somando frações com denominador comum s(s^{2}+4a^{2}). Calculando:
\frac{1}{2s}+\frac{s}{2(s^{2}+4a^{2})}=\frac{s^{2}+2a^{2}}{s\left(s^{2}+4a^{2}\right)}.
A região de convergência é \Re(s)>0 (porque cada termo individual precisa dessa condição).

Passo 7

Resumo prático para a prova: em vez de tentar integrar \cos^{2}(a t) diretamente, use a identidade de duplicação \cos^{2}x=(1+\cos 2x)/2, aplique linearidade e as transformadas padrão \mathcal{L}\{1\}=1/s e \mathcal{L}\{\cos(bt)\}=s/(s^{2}+b^{2}). Isso evita contas chatas e economiza tempo.

Resposta

\mathcal{L}\{\cos^{2}(a t)\}=\frac{s^{2}+2a^{2}}{s\left(s^{2}+4a^{2}\right)},\qquad \Re(s)>0

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