QUESTĂO 03: caracterizado por
e
bar para um estado final caracterizado por
e
bar.
a. Calcule
para este processo;
, e
para
.
b. Qual é a razão entre o termo dependente da pressão e o termo dependente da temperatura em
? Explique seu resultado.
a. Calcule
b. Qual é a razão entre o termo dependente da pressão e o termo dependente da temperatura em
Passo 1
O enunciado nos dá um processo que leva mercúrio líquido de um estado inicial para um estado final. Os dados são (todos retirados do enunciado):
- Temperatura inicial:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura final:
. - Pressão final:
. - Coeficiente de dilatação térmica:
. - Densidade:
. - Capacidade molar a pressão constante:
.
O que a questão pede:
a. Calcular para o processo (variação de entropia por mol de Hg).
b. Calcular a razão entre o termo dependente da pressão e o termo dependente da temperatura em (isto é,
) e explicar o resultado.
a. Calcular
b. Calcular a razão entre o termo dependente da pressão e o termo dependente da temperatura em
Observação: a massa molar do mercúrio não foi dada no enunciado; será usada a massa molar padrão
(valor da tabela periódica).
Passo 2
Qual é a expressão geral para
quando a variável de estado é
e se faz um caminho qualquer de
para
?
Vamos construir passo a passo (não se assuste: é padrão e útil em prova).
- Começamos da identidade termodinâmica para a entropia em derivadas parciais:
- Conhecemos uma relação termodinâmica útil:
. Aqui:
-
é a capacidade térmica (por mol, se usamos ); -
é a temperatura absoluta.
- Outra relação (uma das relações de Maxwell) dá:
Isto significa que a variação de entropia com pressão, a temperatura fixa, é negativa da variação de volume com temperatura.
- Substituindo, obtemos a fórmula diferencial:
- Integrando entre os estados inicial e final (e assumindo que
e podem ser aproximados como constantes razoáveis no intervalo dado — acomodável para este tipo de líquido num intervalo moderado):
- Para um líquido, costuma-se usar a aproximação
onde
é o volume molar e
é o coeficiente de dilatação volumétrica (dado). Assim o termo de pressão fica aproximadamente
se
e
forem tratados como constantes no intervalo.
Portanto, em prática teremos duas parcelas:
e
Passo 3
Calcular a contribuição térmica
.
Usamos a fórmula da integral:
Substituindo os valores (todos em TeX):
Como
, temos
Explicação curta: este termo mede o incremento de entropia por aquecer o mol de mercúrio de
para
; para calor a pressão constante a contribuição é
integrada.
Passo 4
Calcular o volume molar
a partir da densidade e da massa molar.
Dados:
Volume molar em
:
Converter para
(lembrando que
):
(Coloquei valores com precisão compatível com dados fornecidos.)
Passo 5
Calcular a contribuição de pressão
.
Usando a aproximação para líquido:
Convertera pressões de bar para pascal:
. Logo
Agora substituímos:
Fazendo as contas passo a passo:
portanto
Observação de unidade:
, e dividindo por
dá
, como desejado.
Passo 6
Somar as duas contribuições para obter
total.
A diferença é muito pequena, então
com uma correção insignificante. Se quiser um valor com todas as cifras:
Passo 7
Calcular a razão pedida entre o termo dependente da pressão e o termo dependente da temperatura, e interpretar.
Razão:
Interpretação (explicação curta, didática e intuitiva):
- O termo de temperatura
domina a variação de entropia porque para um aquecimento grande (de para ) a contribuição é relativamente grande. - O termo de pressão
é proporcional ao volume molar e ao coeficiente de dilatação . Para líquidos, é pequeno (volume por mol pequeno) e também é pequeno; portanto o produto é muito pequeno, fazendo desprezível. - O sinal negativo indica que um aumento de pressão (a
constante) tende a reduzir a entropia — isso é físico: comprimir diminui desordem. Porém, neste caso esse efeito é praticamente nulo diante do aquecimento.
Motivação intuitiva: entropia muda muito mais por aquecer uma substância (muita energia térmica distribuindo-se) que por comprimi-la moderadamente quando ela é um líquido compactado.