Partindo de uma função qualquer para a amplitude de deslocamento de uma onda
y=y_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t+\varphi)
(a) Encontre a equaçăo da onda:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
(b) Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada em termos de uma função genérica h(x, t) :
y(x, t)=(4,00 \mathrm{~mm}) h\left[\left(30 \mathrm{~m}^{-1}\right) x+\left(6,0 \mathrm{~s}^{-1}\right) t\right]

Passo 1

O enunciado dá a amplitude de deslocamento de uma onda como
y = y_{m}\,\operatorname{sen}(k x - \omega t + \varphi)
e pede duas coisas:
(a) Mostrar/usar a equação da onda
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
para essa forma de onda e achar a relação entre v, k e \omega.
(b) Usar a equação de onda para determinar a velocidade da onda cuja forma é
y(x,t)=(4,00\\ \mathrm{mm})\,h\!\bigl[(30\\ \mathrm{m}^{-1})x+(6{,}0\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr].
Dados extraídos do enunciado para (b): amplitude multiplicativa A=4{,}00\\ \mathrm{mm}, coeficiente espacial \alpha=30\\ \mathrm{m}^{-1} e coeficiente temporal \beta=6{,}0\\ \mathrm{s}^{-1}. Não foi dada forma explícita de h, apenas que é uma função suficientemente suave de uma variável.

Passo 2

Vamos fazer (a): derivar as segundas derivadas de y=y_{m}\,\operatorname{sen}(k x - \omega t + \varphi) e comparar.
  1. Derivada parcial em relação a x. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial y}{\partial x}=y_{m}\,k\cos(kx-\omega t+\varphi).
Derivando de novo em x:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=y_{m}\,k\left[-k\sin(kx-\omega t+\varphi)\right]=-k^{2}\,y_{m}\,\sin(kx-\omega t+\varphi).
Portanto
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-k^{2}y.
  1. Derivada parcial em relação a t. De novo, regra da cadeia:
\frac{\partial y}{\partial t}=y_{m}\,(-\omega)\cos(kx-\omega t+\varphi)=-y_{m}\,\omega\cos(\cdots).
Derivando outra vez em t:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-y_{m}\,\omega\left[-\omega\sin(kx-\omega t+\varphi)\right]=-\omega^{2}\,y_{m}\,\sin(kx-\omega t+\varphi).
Portanto
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}y.
  1. Agora colocamos essas duas expressões na forma pedida:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-k^{2}y,\qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}y.
Substituindo na equação
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
temos
-k^{2}y=\frac{1}{v^{2}}(-\omega^{2}y).
Cancelando o fator comum -y (a função não é a identicamente nula se for onda física),
k^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{\omega}{k}.
Explicação didática curta: k é o número de onda (unidade \mathrm{m}^{-1}) e \omega é a frequência angular (unidade \mathrm{s}^{-1}). A relação v=\omega/k dá a velocidade de fase da onda — velocidade com que fases iguais (por exemplo cristas) se deslocam.

Passo 3

Agora (b): trabalhar com a forma genérica
y(x,t)=A\,h(\xi),\qquad \xi=\alpha x+\beta t,
onde, do enunciado, A=4{,}00\\ \mathrm{mm}, \alpha=30\\ \mathrm{m}^{-1} e \beta=6{,}0\\ \mathrm{s}^{-1}. A função h é genérica, mas assume-se duas vezes diferenciável.
  1. Aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. Derivada em x:
\frac{\partial y}{\partial x}=A\,\frac{d h}{d\xi}\,\frac{\partial \xi}{\partial x}=A\,\alpha\,h'(\xi).
Derivada segunda em x:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=A\,\alpha\,\frac{\partial}{\partial x}h'(\xi) = A\,\alpha\,h''(\xi)\,\frac{\partial \xi}{\partial x} = A\,\alpha^{2}\,h''(\xi).
  1. Derivada segunda em t, de modo análogo:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=A\,\beta^{2}\,h''(\xi).
  1. Inserir na equação de onda:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad A\,\alpha^{2}\,h''(\xi)=\frac{1}{v^{2}}\,A\,\beta^{2}\,h''(\xi).
Agora simplificamos: A cancela (amplitude multiplicativa não muda a velocidade) e, desde que h não seja tal que h''(\xi)\equiv 0 para todo \xi (caso trivial), também se cancelam os h''(\xi). Fica
\alpha^{2}=\frac{\beta^{2}}{v^{2}}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{\beta^{2}}{\alpha^{2}}.
Logo a velocidade (módulo) é
v=\left|\frac{\beta}{\alpha}\right|.
  1. Substituir os números fornecidos:
v=\left|\frac{6{,}0\\ \mathrm{s}^{-1}}{30\\ \mathrm{m}^{-1}}\right| =\frac{6{,}0}{30}\\ \mathrm{m/s}=0{,}200\\ \mathrm{m/s}.
  1. Observação sobre o sinal (direção): a forma do argumento é \xi=\alpha x+\beta t (mais um) — compare com as formas usuais kx-\omega t e kx+\omega t. A combinação kx+\omega t representa uma onda que se propaga no sentido negativo de x com velocidade \omega/k. Portanto, neste caso a velocidade de propagação tem módulo 0{,}200\\ \mathrm{m/s} e a onda se desloca no sentido negativo do eixo x (para a esquerda), porque o tempo aparece com sinal positivo no argumento.

Passo 4

Resumo pedagógico rápido (para fixar): a velocidade de uma onda determinada por uma função h(\alpha x+\beta t) depende apenas da relação entre os coeficientes \alpha e \beta; a amplitude multiplicativa (aqui 4{,}00\\ \mathrm{mm}) não entra no cálculo de v. O procedimento prático na prova: derivar por cadeia, cancelar fatores comuns e resolver para v.

Resposta

(a) A função satisfaz \dfrac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} com
v=\frac{\omega}{k}.
(b) v=0{,}200\\ \mathrm{m/s} (módulo); a onda dada por h\bigl[(30\\ \mathrm{m}^{-1})x+(6{,}0\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr] propaga-se para o sentido negativo de x.

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