Dados extraídos do enunciado para (b): amplitude multiplicativa A=4{,}00\\ \mathrm{mm}, coeficiente espacial \alpha=30\\ \mathrm{m}^{-1} e coeficiente temporal \beta=6{,}0\\ \mathrm{s}^{-1}. Não foi dada forma explícita de h, apenas que é uma função suficientemente suave de uma variável.
Passo 2
Vamos fazer (a): derivar as segundas derivadas de y=y_{m}\,\operatorname{sen}(k x - \omega t + \varphi) e comparar.
Derivada parcial em relação a x. Aplicando a regra da cadeia:
Explicação didática curta: k é o número de onda (unidade \mathrm{m}^{-1}) e \omega é a frequência angular (unidade \mathrm{s}^{-1}). A relação v=\omega/k dá a velocidade de fase da onda — velocidade com que fases iguais (por exemplo cristas) se deslocam.
Passo 3
Agora (b): trabalhar com a forma genérica
y(x,t)=A\,h(\xi),\qquad \xi=\alpha x+\beta t,
onde, do enunciado, A=4{,}00\\ \mathrm{mm}, \alpha=30\\ \mathrm{m}^{-1} e \beta=6{,}0\\ \mathrm{s}^{-1}. A função h é genérica, mas assume-se duas vezes diferenciável.
Aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. Derivada em x:
Agora simplificamos: A cancela (amplitude multiplicativa não muda a velocidade) e, desde que h não seja tal que h''(\xi)\equiv 0 para todo \xi (caso trivial), também se cancelam os h''(\xi). Fica
Observação sobre o sinal (direção): a forma do argumento é \xi=\alpha x+\beta t (mais um) — compare com as formas usuais kx-\omega t e kx+\omega t. A combinação kx+\omega t representa uma onda que se propaga no sentido negativo de x com velocidade \omega/k. Portanto, neste caso a velocidade de propagação tem módulo 0{,}200\\ \mathrm{m/s} e a onda se desloca no sentido negativo do eixo x (para a esquerda), porque o tempo aparece com sinal positivo no argumento.
Passo 4
Resumo pedagógico rápido (para fixar): a velocidade de uma onda determinada por uma função h(\alpha x+\beta t) depende apenas da relação entre os coeficientes \alpha e \beta; a amplitude multiplicativa (aqui 4{,}00\\ \mathrm{mm}) não entra no cálculo de v. O procedimento prático na prova: derivar por cadeia, cancelar fatores comuns e resolver para v.
Resposta
(a) A função satisfaz \dfrac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} com
v=\frac{\omega}{k}.
(b) v=0{,}200\\ \mathrm{m/s} (módulo); a onda dada por h\bigl[(30\\ \mathrm{m}^{-1})x+(6{,}0\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr] propaga-se para o sentido negativo de x.