Um detector estacionário mede a frequência de uma fonte sonora que se aproxima em linha reta, passa pelo detector e se afasta, mantendo a velocidade constante. A frequência emitida pela fonte é f. A frequência detectada durante a aproximação é
e a frequência detectada durante o afastamento é
, qual é a razão
entre a velocidade da fonte e a velocidade do som? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Informação: a fonte sonora emite frequência
. - Informação: o observador (detector) está em repouso; a fonte se aproxima, passa pelo detector e se afasta com velocidade constante
. A velocidade do som no meio é . - Informação: durante a aproximação a frequência detectada é
e durante o afastamento é . - Informação numérica fornecida:
. - Pedido: determinar a razão
.
Passo 2
Relembrando conceitos básicos (pedaço de teoria bem mastigado).
- A velocidade de uma onda sonora, a frequência e o comprimento de onda estão ligados por
onde
é a velocidade do som,
é a frequência emitida e
é o comprimento de onda no meio quando a fonte está em repouso.
- O período da onda é
. - Se a fonte está em movimento, a separação entre frentes de onda (o comprimento de onda efetivo) muda: quando a fonte se aproxima, as frentes são “apertadas”; quando se afasta, são “esticadas”. Vamos calcular isso de forma simples e não misteriosa.
Passo 3
Derivando a fórmula para frequência detectada quando a fonte se move (observador em repouso).
- Em um intervalo de tempo igual a um período
, a fonte avança uma distância . - Quando a fonte se aproxima do observador, a distância entre duas frentes consecutivas que chegam ao observador é a distância que a onda percorre num período menos o deslocamento da fonte, isto é
- A frequência detectada é a velocidade das ondas dividida pelo comprimento de onda detectado:
Como
, obtemos a forma simples
- Análogo para o afastamento: agora a fonte afasta-se, então as frentes ficam mais separadas e
e
Essas duas fórmulas são a versão do efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso.
Passo 4
Calcular a diferença normalizada que aparece no enunciado.
- Faça a diferença usando as expressões encontradas:
- Colocando em denominador comum:
Portanto a relação entre o que o enunciado deu e
é
Passo 5
Usar o valor dado para montar uma equação e manipulá‑la.
- O enunciado dá
. Igualando:
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Desenvolvendo e passando todos os termos para um lado:
- Para evitar os decimais, multiplica‑se por
(ou reconhece‑se que ; aqui multiplico por ):
Passo 6
Resolver a equação quadrática passo a passo.
- A equação é
. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
- Como
, temos
- Fisicamente
deve ser um número entre e (a fonte não pode ultrapassar a velocidade do som no contexto deste problema). Das duas raízes, a que interessa é a positiva:
Passo 7
Verificação numérica rápida e interpretação física (sem repetir a resposta final isolada).
- Calculando aproximadamente
, então
- Isso significa que a velocidade da fonte é cerca de
da velocidade do som, valor menor que e portanto fisicamente consistente.