Um detector estacionário mede a frequência de uma fonte sonora que se aproxima em linha reta, passa pelo detector e se afasta, mantendo a velocidade constante. A frequência emitida pela fonte é f. A frequência detectada durante a aproximação é \mathrm{f}_{\text {ap }}^{\prime} e a frequência detectada durante o afastamento é \mathrm{f}_{\text {af }}^{\prime} . \operatorname{Se}\left(\mathrm{f}^{\prime}{ }_{\text {ap }}-\mathrm{f}^{\prime}{ }_{\text {af }}\right) / \mathrm{f}=1,500, qual é a razão v_{F} / v entre a velocidade da fonte e a velocidade do som? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Informação: a fonte sonora emite frequência f.
  • Informação: o observador (detector) está em repouso; a fonte se aproxima, passa pelo detector e se afasta com velocidade constante v_F. A velocidade do som no meio é v.
  • Informação: durante a aproximação a frequência detectada é f'_{\text{ap}} e durante o afastamento é f'_{\text{af}}.
  • Informação numérica fornecida: \dfrac{f'_{\text{ap}}-f'_{\text{af}}}{f}=1{,}500.
  • Pedido: determinar a razão \dfrac{v_{F}}{v}.

Passo 2

Relembrando conceitos básicos (pedaço de teoria bem mastigado).
  • A velocidade de uma onda sonora, a frequência e o comprimento de onda estão ligados por
v = f\,\lambda,
onde v é a velocidade do som, f é a frequência emitida e \lambda é o comprimento de onda no meio quando a fonte está em repouso.
  • O período da onda é T=\dfrac{1}{f}.
  • Se a fonte está em movimento, a separação entre frentes de onda (o comprimento de onda efetivo) muda: quando a fonte se aproxima, as frentes são “apertadas”; quando se afasta, são “esticadas”. Vamos calcular isso de forma simples e não misteriosa.

Passo 3

Derivando a fórmula para frequência detectada quando a fonte se move (observador em repouso).
  • Em um intervalo de tempo igual a um período T, a fonte avança uma distância v_F T.
  • Quando a fonte se aproxima do observador, a distância entre duas frentes consecutivas que chegam ao observador é a distância que a onda percorre num período menos o deslocamento da fonte, isto é
\lambda_{\text{ap}} = vT - v_F T = (v - v_F)T.
  • A frequência detectada é a velocidade das ondas dividida pelo comprimento de onda detectado:
f'_{\text{ap}}=\frac{v}{\lambda_{\text{ap}}}=\frac{v}{(v - v_F)T}=\frac{v}{v - v_F}\cdot\frac{1}{T}.
Como \dfrac{1}{T}=f, obtemos a forma simples
f'_{\text{ap}}=\frac{f}{1-\beta}, \qquad\text{onde}\qquad \beta=\frac{v_F}{v}.
  • Análogo para o afastamento: agora a fonte afasta-se, então as frentes ficam mais separadas e
\lambda_{\text{af}}=(v+v_F)T
e
f'_{\text{af}}=\frac{v}{\lambda_{\text{af}}}=\frac{f}{1+\beta}.
Essas duas fórmulas são a versão do efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso.

Passo 4

Calcular a diferença normalizada que aparece no enunciado.
  • Faça a diferença usando as expressões encontradas:
\frac{f'_{\text{ap}}-f'_{\text{af}}}{f} =\frac{1}{1-\beta}-\frac{1}{1+\beta}.
  • Colocando em denominador comum:
\frac{1}{1-\beta}-\frac{1}{1+\beta} =\frac{(1+\beta)-(1-\beta)}{1-\beta^2} =\frac{2\beta}{1-\beta^2}.
Portanto a relação entre o que o enunciado deu e \beta é
\frac{f'_{\text{ap}}-f'_{\text{af}}}{f}=\frac{2\beta}{1-\beta^2}.

Passo 5

Usar o valor dado para montar uma equação e manipulá‑la.
  • O enunciado dá \dfrac{f'_{\text{ap}}-f'_{\text{af}}}{f}=1{,}500. Igualando:
\frac{2\beta}{1-\beta^2}=1{,}500.
  • Multiplicando ambos os lados por 1-\beta^2:
2\beta = 1{,}500\,(1-\beta^2).
  • Desenvolvendo e passando todos os termos para um lado:
2\beta = 1{,}500 - 1{,}500\beta^2 \quad\Rightarrow\quad 1{,}500\beta^2 + 2\beta - 1{,}500=0.
  • Para evitar os decimais, multiplica‑se por 2 (ou reconhece‑se que 1{,}500=\tfrac{3}{2}; aqui multiplico por 2):
3\beta^2 + 4\beta - 3 = 0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática passo a passo.
  • A equação é 3\beta^2+4\beta-3=0. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
\beta=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot3\cdot(-3)}}{2\cdot3} =\frac{-4\pm\sqrt{16+36}}{6} =\frac{-4\pm\sqrt{52}}{6}.
  • Como \sqrt{52}=2\sqrt{13}, temos
\beta=\frac{-4\pm 2\sqrt{13}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{13}}{3}.
  • Fisicamente \beta=\dfrac{v_F}{v} deve ser um número entre 0 e 1 (a fonte não pode ultrapassar a velocidade do som no contexto deste problema). Das duas raízes, a que interessa é a positiva:
\beta=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}.

Passo 7

Verificação numérica rápida e interpretação física (sem repetir a resposta final isolada).
  • Calculando aproximadamente \sqrt{13}\approx 3{,}6055, então
\beta\approx\frac{-2+3{,}6055}{3}\approx\frac{1{,}6055}{3}\approx0{,}535.
  • Isso significa que a velocidade da fonte é cerca de 53{,}5\% da velocidade do som, valor menor que 1 e portanto fisicamente consistente.

Resposta

\dfrac{v_{F}}{v}=\dfrac{-2+\sqrt{13}}{3}\approx0{,}535

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