QUESTÃO 02 (Trabalho de Força Variável - Lei de Hooke)

Uma mola ideal de constante elástica \boldsymbol{k}=\mathbf{5 0 0 ~ N} / \boldsymbol{m} está inicialmente comprimida de \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}=\mathbf{- 0 , 1 0} \boldsymbol{m} em relação à sua posição de relaxamento. Um agente externo realiza trabalho sobre o sistema para esticar a mola até uma posição final onde ela fica distendida de \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{f}}=\mathbf{+ 0 , 2 0 ~ m}. O trabalho realizado pela força elástica da mola durante esse deslocamento completo é igual a:
a) -7,5 \mathrm{~J}
b) +7,5 \mathrm{~J}
c) \boldsymbol{-} \mathbf{1 0 , 0 ~ J}
d) \boldsymbol{+} \mathbf{1 0 , 0 ~ J}
e) -\mathbf{1 2 , 5 ~ J}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
  • constante elástica da mola: k=500\\ \mathrm{N}/\mathrm{m};
  • posição inicial: x_i=-0,10\\ \mathrm{m} (comprimida em relação ao equilíbrio);
  • posição final: x_f=+0,20\\ \mathrm{m} (distendida em relação ao equilíbrio).
O que o enunciado pede:
  • determinar o trabalho realizado pela força elástica da mola quando ela vai de x_i até x_f.
    (As alternativas disponibilizadas são: (a) -7,5\\ \mathrm{J}, (b) +7,5\\ \mathrm{J}, (c) -10,0\\ \mathrm{J}, (d) +10,0\\ \mathrm{J}, (e) -12,5\\ \mathrm{J}.)

Passo 2

Entendendo a força da mola (Lei de Hooke) — fundamentos e sinais:
  • A Lei de Hooke diz que a força elástica que a mola exerce é diretamente proporcional ao deslocamento em relação ao equilíbrio e aponta no sentido de restaurar a mola. Em fórmula:
F_{\text{mola}}(x) = -k\,x.
  • Aqui x é a coordenada da massa medida a partir da posição de relaxamento (ou equilíbrio). O sinal negativo indica que a força da mola é sempre contrária ao deslocamento: se x>0 (extensão), a mola puxa no sentido negativo; se x<0 (compressão), a mola empurra no sentido positivo.
  • Explicação didática curta: o termo k mede “o quão dura” é a mola; unidades de k são \mathrm{N}/\mathrm{m}. O produto k x tem unidades de força ( \mathrm{N}).

Passo 3

Definição do trabalho de uma força variável e aplicação ao caso:
  • Para uma força que depende da posição x, o trabalho realizado pela força quando o ponto material se desloca de x_i até x_f é dado por
W=\int_{x_i}^{x_f} F(x)\,dx.
  • No nosso caso, a força é F_{\text{mola}}(x)=-k x. Substituindo na integral, o trabalho realizado pela força elástica é
W_{\text{mola}}=\int_{x_i}^{x_f} (-k x)\,dx.
  • Interpretação: a integral soma as contribuições F(x)\,dx ao longo do trajeto; se a força e o deslocamento têm sinais opostos em média, o trabalho será negativo.

Passo 4

Cálculo simbólico do trabalho (passo a passo da integração):
W_{\text{mola}}=-k\int_{x_i}^{x_f} x\,dx.
A primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^2, logo
W_{\text{mola}}=-k\left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_{x_i}^{x_f}=-\tfrac{k}{2}\bigl(x_f^2-x_i^2\bigr).
Observação física: essa expressão também é consistente com a ideia de que o trabalho da força elástica é o negativo da variação da energia potencial elástica \Delta U=\tfrac{1}{2}k x_f^2-\tfrac{1}{2}k x_i^2, pois W_{\text{mola}}=-\Delta U.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos passo a passo:
  • Calcular os quadrados das posições (peguei x_i e x_f do enunciado):
x_f^2=(0,20)^2=0,04,\qquad x_i^2=(-0,10)^2=0,01.
  • Diferença:
x_f^2-x_i^2=0,04-0,01=0,03.
  • Agora usar k=500\\ \mathrm{N}/\mathrm{m} na expressão
W_{\text{mola}}=-\tfrac{k}{2}\bigl(x_f^2-x_i^2\bigr)=-\tfrac{500}{2}\times 0,03.
  • Simplificando os fatores:
\tfrac{500}{2}=250,\qquad 250\times 0,03=7,5,
portanto o trabalho é negativo e corresponde a -7,5\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação física e dica para a prova:
  • O resultado negativo significa que, no total, a força da mola realizou trabalho negativo ao longo do deslocamento de x_i para x_f; em outras palavras, a força da mola atuou em sentido, em grande parte, oposto ao deslocamento efetuado pelo agente externo. Isso é coerente: o agente externo precisou aplicar trabalho positivo para levar a mola de comprimida para esticada, e esse trabalho foi armazenado na mola como energia potencial elástica.
  • Dica prática para prova: use sempre a integral \int_{x_i}^{x_f} F(x)\,dx com F(x)=-k x e cheque os sinais de x_i e x_f (eles entram ao quadrado na expressão final, por isso só a diferença dos quadrados importa).

Resposta

(a) -7,5\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados