QUESTÃO 02 (Trabalho de Força Variável - Lei de Hooke)
Uma mola ideal de constante elástica
está inicialmente comprimida de
em relação à sua posição de relaxamento. Um agente externo realiza trabalho sobre o sistema para esticar a mola até uma posição final onde ela fica distendida de
. O trabalho realizado pela força elástica da mola durante esse deslocamento completo é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
- constante elástica da mola:
; - posição inicial:
(comprimida em relação ao equilíbrio); - posição final:
(distendida em relação ao equilíbrio).
O que o enunciado pede:
- determinar o trabalho realizado pela força elástica da mola quando ela vai de
até .
(As alternativas disponibilizadas são: (a), (b) , (c) , (d) , (e) .)
Passo 2
Entendendo a força da mola (Lei de Hooke) — fundamentos e sinais:
- A Lei de Hooke diz que a força elástica que a mola exerce é diretamente proporcional ao deslocamento em relação ao equilíbrio e aponta no sentido de restaurar a mola. Em fórmula:
- Aqui
é a coordenada da massa medida a partir da posição de relaxamento (ou equilíbrio). O sinal negativo indica que a força da mola é sempre contrária ao deslocamento: se (extensão), a mola puxa no sentido negativo; se (compressão), a mola empurra no sentido positivo. - Explicação didática curta: o termo
mede “o quão dura” é a mola; unidades de são . O produto tem unidades de força ( ).
Passo 3
Definição do trabalho de uma força variável e aplicação ao caso:
- Para uma força que depende da posição
, o trabalho realizado pela força quando o ponto material se desloca de até é dado por
- No nosso caso, a força é
. Substituindo na integral, o trabalho realizado pela força elástica é
- Interpretação: a integral soma as contribuições
ao longo do trajeto; se a força e o deslocamento têm sinais opostos em média, o trabalho será negativo.
Passo 4
Cálculo simbólico do trabalho (passo a passo da integração):
A primitiva de
é
, logo
Observação física: essa expressão também é consistente com a ideia de que o trabalho da força elástica é o negativo da variação da energia potencial elástica
, pois
.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos passo a passo:
- Calcular os quadrados das posições (peguei
e do enunciado):
- Diferença:
- Agora usar
na expressão
- Simplificando os fatores:
portanto o trabalho é negativo e corresponde a
.
Passo 6
Interpretação física e dica para a prova:
- O resultado negativo significa que, no total, a força da mola realizou trabalho negativo ao longo do deslocamento de
para ; em outras palavras, a força da mola atuou em sentido, em grande parte, oposto ao deslocamento efetuado pelo agente externo. Isso é coerente: o agente externo precisou aplicar trabalho positivo para levar a mola de comprimida para esticada, e esse trabalho foi armazenado na mola como energia potencial elástica. - Dica prática para prova: use sempre a integral
com e cheque os sinais de e (eles entram ao quadrado na expressão final, por isso só a diferença dos quadrados importa).
Resposta
(a)