Questão 03: Detemine se o sistema discreto no tempo é estável, marginalmente estável ou instável, através do mapeamento do plano-Z sobre o plano-S, considerando dois casos. Primeiro caso, considerando
T=0,2 e segundo caso com T=2. Comente se a escolha do tempo de amostragem do sistema influencia na estabilidade do sistema em um contexto contínuo no tempo.
G(z)=1z^2+0,3 z+0,2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se o sistema discreto
G(z)=1z^2+0,3z+0,2
é estável, marginalmente estável ou instável, mas fazendo a “ponte” pro plano-S usando a relação
z=e^sTlongrightarrow s=1Tln(z),
São dois casos: e . No fim, temos que comentar se trocar muda a estabilidade quando imaginamos o sistema contínuo.
Para resolver vamos precisar de:
  1. descobrir os polos no plano-Z (resolvendo a equação quadrática);
  2. checar para ver estabilidade discreta;
  3. usar em cada caso e ver o sinal do ;
  4. comentar a influência de .

Passo 2

Primeiro achamos os polos em z^2+0,3z+0,2=0. A equação característica é
z1,2=-0,3pmraiz0,3^2-4cdot1cdot0,22 =-0,3pmraiz0,09-0,82 =-0,3pm jraiz0,712 =-0,15pm j,0,422,
Aplico a fórmula de Bhaskara:
$$z_{1,2}=\frac{-0,3\pm\sqrt{0,3^2-4\cdot1\cdot0,2}}{2}
=\frac{-0,3\pm\sqrt{0,09-0,8}}{2}
=\frac{-0,3\pm j\sqrt{0,71}}{2}
=-0,15\pm j,0,422,. $$

Passo 3

Agora a gente vê a estabilidade discreta conferindo |zi|=raiz(-0,15)^2+(0,422)^2 =raiz0,0225+0,178=raiz0,2005approx0,448<1:
$$|z_i|=\sqrt{(-0,15)2+(0,422)2}
=\sqrt{0,0225+0,178}=\sqrt{0,2005}\approx0,448<1.$$
Como os dois polos têm módulo menor que 1, o sistema é estável no mundo discreto para qualquer .

Passo 4

Hora de mapear pro plano-S com
$$s_i=\frac{1}{T}\ln(z_i)
=\frac{1}{T}\bigl(\ln|z_i| + j\arg(z_i)\bigr),. $$
A gente já tem si=1Tln(zi) =1Tl(ln|zi| + jarg(zi)r), . O ângulo é

Passo 5

Caso si=5l(-0,805pm j,1,92r) =-4,025pm j,9,60, :
$$s_i=5\bigl(-0,805\pm j,1,92\bigr)
=-4,025\pm j,9,60,. $$
Repare que , então é estável contínuo também.

Passo 6

Caso si=0,5l(-0,805pm j,1,92r) =-0,4025pm j,0,96, :
$$s_i=0,5\bigl(-0,805\pm j,1,92\bigr)
=-0,4025\pm j,0,96,. $$
Aqui , de novo estabilidade contínua.

Passo 7

Comentário sobre : mudar só altera o quanto as partes reais “ficam grandes” (rapidez do decaimento) e as frequências imaginárias, mas como fixo, o sinal de nunca vira positivo. Ou seja, o sistema permanece estável no contínuo para qualquer .

Resposta

O sistema é estável (nem marginal nem instável) nos dois casos e . A escolha de não altera o fato de ser estável no domínio contínuo; só muda a taxa de decaimento e a frequência dos modos.

Exercícios relacionados