Questão 03: Detemine se o sistema discreto no tempo é estável, marginalmente estável ou instável, através do mapeamento do plano-Z sobre o plano-S, considerando dois casos. Primeiro caso, considerando
e segundo caso com
. Comente se a escolha do tempo de amostragem do sistema influencia na estabilidade do sistema em um contexto contínuo no tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se o sistema discreto
é estável, marginalmente estável ou instável, mas fazendo a “ponte” pro plano-S usando a relação
São dois casos:
e
. No fim, temos que comentar se trocar
muda a estabilidade quando imaginamos o sistema contínuo.
Para resolver vamos precisar de:
Para resolver vamos precisar de:
- descobrir os polos no plano-Z (resolvendo a equação quadrática);
- checar
para ver estabilidade discreta; - usar
em cada caso e ver o sinal do ; - comentar a influência de
.
Passo 2
Primeiro achamos os polos em
. A equação característica é
Aplico a fórmula de Bhaskara:
$$z_{1,2}=\frac{-0,3\pm\sqrt{0,3^2-4\cdot1\cdot0,2}}{2}
=\frac{-0,3\pm\sqrt{0,09-0,8}}{2}
=\frac{-0,3\pm j\sqrt{0,71}}{2}
=\frac{-0,3\pm j\sqrt{0,71}}{2}
=-0,15\pm j,0,422,. $$
Passo 3
Agora a gente vê a estabilidade discreta conferindo
:
$$|z_i|=\sqrt{(-0,15)2+(0,422)2}
=\sqrt{0,0225+0,178}=\sqrt{0,2005}\approx0,448<1.$$
Como os dois polos têm módulo menor que 1, o sistema é estável no mundo discreto para qualquer .
Como os dois polos têm módulo menor que 1, o sistema é estável no mundo discreto para qualquer
Passo 4
Hora de mapear pro plano-S com
$$s_i=\frac{1}{T}\ln(z_i)
=\frac{1}{T}\bigl(\ln|z_i| + j\arg(z_i)\bigr),. $$
A gente já tem . O ângulo é
A gente já tem
Passo 5
Caso
:
$$s_i=5\bigl(-0,805\pm j,1,92\bigr)
=-4,025\pm j,9,60,. $$
Repare que , então é estável contínuo também.
Repare que
Passo 6
Caso
:
$$s_i=0,5\bigl(-0,805\pm j,1,92\bigr)
=-0,4025\pm j,0,96,. $$
Aqui , de novo estabilidade contínua.
Aqui
Passo 7
Comentário sobre
: mudar
só altera o quanto as partes reais “ficam grandes” (rapidez do decaimento) e as frequências imaginárias, mas como
fixo, o sinal de
nunca vira positivo. Ou seja, o sistema permanece estável no contínuo para qualquer
.
Resposta
O sistema é estável (nem marginal nem instável) nos dois casos
e
. A escolha de
não altera o fato de ser estável no domínio contínuo; só muda a taxa de decaimento e a frequência dos modos.