Questão 05: Verifique a estabilidade do sistema contínuo no tempo a partir do Critério de RouthHurwitz. Caso o sistema seja instável, indique quantos polos instáveis o sistema possui.
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Passo 1
Beleza, vamos recapitular. A questão nos dá o polinômio de característica
\Delta(s)=s⁴ + s³ + 2s² + 2s + 5
e pede pra usar o Critério de Routh–Hurwitz pra ver se o sistema é estável.
Conteúdo: estabilidade de sistemas contínuos e tabela de Routh.
O que vamos precisar: montar a tabela de Routh, lembrar que
– o número de polos no semiplano direito (instáveis) é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna da tabela.
\Delta(s)=s⁴ + s³ + 2s² + 2s + 5
e pede pra usar o Critério de Routh–Hurwitz pra ver se o sistema é estável.
Conteúdo: estabilidade de sistemas contínuos e tabela de Routh.
O que vamos precisar: montar a tabela de Routh, lembrar que
– o número de polos no semiplano direito (instáveis) é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna da tabela.
Passo 2
Primeiro construímos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes:
s⁴: 1 2 5
s³: 1 2 0
s⁴: 1 2 5
s³: 1 2 0
Agora cada entrada da linha s² vem da fórmula
Então a linha s² é
s²: 0 5
s²: 0 5
Passo 3
Na linha s¹ precisamos usar
mas dá divisão por zero. Nesse caso colocamos um
no lugar de 0 e depois tomamos
.
Substituindo:
Substituindo:
ou seja, sinal negativo. A outra coluna fica zero.
E por fim a linha s⁰ é sempre o termo constante que sobra: 5.
E por fim a linha s⁰ é sempre o termo constante que sobra: 5.
Então a primeira coluna fica, em ordem de linhas:
s⁴: +1
s³: +1
s²: +\varepsilon (ou seja +)
s¹: – (negativo)
s⁰: +5
s⁴: +1
s³: +1
s²: +\varepsilon (ou seja +)
s¹: – (negativo)
s⁰: +5
Passo 4
Contamos as trocas de sinal ao descer a primeira coluna:
- → + (nenhuma)
- → + (nenhuma)
- → – (1ª troca)
– → + (2ª troca)
Logo tem 2 trocas de sinal.
Resposta
O sistema é instável e possui 2 polos instáveis (dois no semiplano direito).