Questão 05: Verifique a estabilidade do sistema contínuo no tempo a partir do Critério de RouthHurwitz. Caso o sistema seja instável, indique quantos polos instáveis o sistema possui.
  • De

Passo 1

Beleza, vamos recapitular. A questão nos dá o polinômio de característica
\Delta(s)=s⁴ + s³ + 2s² + 2s + 5
e pede pra usar o Critério de Routh–Hurwitz pra ver se o sistema é estável.
Conteúdo: estabilidade de sistemas contínuos e tabela de Routh.
O que vamos precisar: montar a tabela de Routh, lembrar que
– o número de polos no semiplano direito (instáveis) é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna da tabela.

Passo 2

Primeiro construímos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes:
s⁴: 1  2  5
s³: 1  2  0
Agora cada entrada da linha s² vem da fórmula
a = 1cdot 2 - 1cdot 21 = 0, b = 1cdot 5 - 1cdot 01 = 5
Então a linha s² é
s²: 0  5

Passo 3

Na linha s¹ precisamos usar
c = 0cdot 2 - 1cdot 50,
mas dá divisão por zero. Nesse caso colocamos um c = varepsiloncdot 2 - 1cdot 5varepsilon = 2 - 5varepsilon;xrightarrow[varepsilonto0^+];-infty, no lugar de 0 e depois tomamos .
Substituindo:
ou seja, sinal negativo. A outra coluna fica zero.
E por fim a linha s⁰ é sempre o termo constante que sobra: 5.
Então a primeira coluna fica, em ordem de linhas:
s⁴: +1
s³: +1
s²: +\varepsilon (ou seja +)
s¹: – (negativo)
s⁰: +5

Passo 4

Contamos as trocas de sinal ao descer a primeira coluna:
  • → + (nenhuma)
  • → + (nenhuma)
  • → – (1ª troca)
    – → + (2ª troca)
Logo tem 2 trocas de sinal.

Resposta

O sistema é instável e possui 2 polos instáveis (dois no semiplano direito).

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