Questão 03. Determine a área da região plana limitada simultaneamente pelas curvas.
y=x^2 e y=2-x;

Passo 1

O enunciado pede a área da região plana limitada pelas curvas y = x² e y = 2 − x. Isso é um problema de Cálculo Integral: vamos achar onde as curvas se interceptam e usar a fórmula da área entre funções, que exige uma integral definida.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos x² = 2 − x. Assim:
x^2 + x - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática, obtemos as raízes x = 1 e x = -2.

Passo 3

Precisamos saber quem está acima de quem no intervalo [−2,1]. Basta testar um valor (por ex. x=0): x²=0 e 2−0=2, logo a reta y = 2 − x fica acima da parábola y = x² nesse trecho.

Passo 4

A área é dada por
A = integral-2^1 l[(2 - x) - x^2r] ,dx
Agora calculamos a integral. Primeiro obtemos a antiderivada:
F(x) = integral (2 - x - x^2) ,dx = 2x - tfracx^22 - tfracx^33
Avaliando de -2 a 1:
F(1) = 2(1) - tfrac1^22 - tfrac1^33 = 2 - tfrac12 - tfrac13 = tfrac76,
F(-2) = 2(-2) - tfrac(-2)^22 - tfrac(-2)^33 = -4 - 2 + tfrac83 = -tfrac103
Então
A = F(1) - F(-2) = tfrac76 - l(-tfrac103r) = tfrac76 + tfrac206 = tfrac276 = tfrac92

Resposta

92

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