Calcule a integral de superficie integralegral duplasigma^square f(x, y, z) d S, onde f(x, y, z)=x y; sigma é a porção do plano x+y+z=1 que fica no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de um campo escalar sobre a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, com f(x,y,z)=xy. O conteúdo é integral de superfície de campo escalar e vamos usar a projeção no plano xy.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por (x,y) e escrevemos z=1−x−y. Então calculamos as derivadas parciais ∂z/∂x=−1 e ∂z/∂y=−1. O elemento de área é dado por dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²) dA=√3 dA.

Passo 3

A projeção D no plano xy é o triângulo definido por x≥0, y≥0 e x+y≤1. Assim a integral de superfície vira ∬_D xy·√3 dA.

Passo 4

Montamos a integral dupla:
integral duplaD xy,dA=integralx=0^1integraly=0^1-xxy,dy,dx

Passo 5

Calculamos primeiro em y:
integraly=0^1-xxy,dy = x(1-x)^22
Então
integral duplaD xy,dA = integral0^1 x(1-x)^22 ,dx = 12integral0^1 (x -2x^2 +x^3),dx = 12l[x^22-2x^33+x^44r]0^1 = 124

Passo 6

Multiplicamos por √3 para obter a integral de superfície.

Resposta

raiz324

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