Calcule a integral de superficie
, onde
;
é a porção do plano
que fica no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície de um campo escalar sobre a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, com f(x,y,z)=xy. O conteúdo é integral de superfície de campo escalar e vamos usar a projeção no plano xy.
Passo 2
Parametrizamos a superfície por (x,y) e escrevemos z=1−x−y. Então calculamos as derivadas parciais ∂z/∂x=−1 e ∂z/∂y=−1. O elemento de área é dado por dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²) dA=√3 dA.
Passo 3
A projeção D no plano xy é o triângulo definido por x≥0, y≥0 e x+y≤1. Assim a integral de superfície vira ∬_D xy·√3 dA.
Passo 4
Montamos a integral dupla:
Passo 5
Calculamos primeiro em y:
Então
Passo 6
Multiplicamos por √3 para obter a integral de superfície.