Questão-03. Faça o que se pede
Considere V=P_{2}(R) o espaço vetorial dos polinômios na variável x de coeficientes reais de grau menor ou igual a 2. Mostre que os vetores p(x)=x^{2}+2 \quad q(x)=x-1 e r(x)=3 x^{2}+2 x+4 são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=P_{2}(\mathbb{R}) e três polinômios:
p(x)=x^{2}+2,\qquad q(x)=x-1,\qquad r(x)=3x^{2}+2x+4.
O que se pede: mostrar que esses três vetores (polinômios) são linearmente dependentes. Em palavras: encontrar escalares a,b,c, nem todos nulos, tais que a combinação linear
a\,p(x)+b\,q(x)+c\,r(x)
seja o polinômio nulo (isto é, igual a zero para todo x).

Passo 2

Definição e estratégia (explicação didática, sem pular etapas). Por definição, polinômios são iguais como funções se e somente se os coeficientes de x^{2}, x e do termo constante coincidem. Logo, para achar a,b,c basta escrever
a\,p(x)+b\,q(x)+c\,r(x)=0
e igualar coeficientes das potências x^{2}, x e do termo constante. Se acharmos uma solução (a,b,c) com pelo menos um dos escalares diferente de zero, isso prova dependência linear.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a combinação e substituindo os polinômios:
a(x^{2}+2)+b(x-1)+c(3x^{2}+2x+4)=0.
Agora vamos expandir cada termo para agrupar por potências de x.

Passo 4

Expandindo e agrupando os coeficientes:
\begin{aligned} a(x^{2}+2) &= a x^{2} + 2a,\\\ b(x-1) &= b x - b,\\\ c(3x^{2}+2x+4) &= 3c x^{2} + 2c x + 4c. \end{aligned}
Somando tudo:
(a+3c)x^{2} + (b+2c)x + (2a - b + 4c)=0.
Como o lado direito é o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim obtemos o sistema linear para a,b,c:
\begin{cases} a+3c=0,\\[4pt] b+2c=0,\\[4pt] 2a - b +4c=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação obtemos
a=-3c.
Da segunda equação obtemos
b=-2c.
Substituindo a=-3c e b=-2c na terceira equação:
2(-3c)-(-2c)+4c=0.
Calculemos o lado esquerdo:
-6c+2c+4c = (-6+2+4)c = 0\cdot c = 0,
que é uma identidade verdadeira para qualquer c. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por c. Em particular, podemos escolher c=1 (qualquer valor distinto de zero serve) e então
a=-3,\qquad b=-2,\qquad c=1.
Esses escalares não são todos zero, portanto fornecem uma combinação linear não trivial.

Passo 6

Verificação direta (sempre bom checar): com a=-3,\;b=-2,\;c=1,
-3p(x)-2q(x)+1\cdot r(x)
vai dar
-3(x^{2}+2)-2(x-1)+(3x^{2}+2x+4).
Expandindo:
-3x^{2}-6-2x+2+3x^{2}+2x+4.
Agrupando termos:
(-3x^{2}+3x^{2})+(-2x+2x)+(-6+2+4)=0+0+0=0.
Portanto a soma é de fato o polinômio zero, como queríamos.

Resposta

-3p(x)-2q(x)+r(x)=0, logo p,q,r são linearmente dependentes.

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