Questão-02. Encontre uma base para cada subespaço vetorial
S_{8}=\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)\right]

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes 2\times2 e pede para encontrar uma base do subespaço S_{8} gerado por elas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Matrizes fornecidas:
    A_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad A_4=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
  • O que se pede: uma base para o subespaço S_{8}=\text{span}\{A_1,A_2,A_3,A_4\}. Isto significa encontrar um subconjunto dessas matrizes que seja linearmente independente e que gere o mesmo subespaço.]

Passo 2

Estratégia útil e simples: transformar cada matriz em um vetor em \mathbb{R}^4 (ou seja, coordenatizar as matrizes) e aplicar eliminação de Gauss para descobrir quais colunas são linearmente independentes. Vou explicar por que isso funciona: o espaço das matrizes 2\times2 tem dimensão 4, então qualquer conjunto de matrizes pode ser tratado como vetores em \mathbb{R}^4 escolhendo uma ordem fixa das entradas. Linearidade e dependência são preservadas por essa identificação.
Vou usar a ordem das entradas (m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}). Então cada matriz \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vira o vetor (a,b,c,d).

Passo 3

Converter as quatro matrizes em vetores usando a ordem escolhida:
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad v_4=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Agora formo a matriz cujas colunas são esses vetores (cada coluna corresponde a uma das matrizes originais):
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
onde a coluna j é v_j.]

Passo 4

Vou aplicar eliminação por linhas (Gauss) para encontrar o posto e as colunas-pivô de M. Os pivôs indicarão quais colunas originais são linearmente independentes.
Começo com
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Agora troco R_2 com R_4 (para ter pivô na terceira coluna logo abaixo de R_1):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Elimino a entrada da coluna 3 em R_1 e R_3 usando R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplico R_3 por -1 para obter pivô positivo:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Elimino a entrada da coluna 2 em R_1 com R_3: R_1 \leftarrow R_1 - R_3. Fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Esta forma mostra claramente pivôs nas colunas 1, 2 e 3; a coluna 4 não tem pivô, logo é combinação linear das três primeiras.]

Passo 5

Interpretação do resultado da eliminação: as colunas [1,2,3) de M são linearmente independentes e a coluna 4 é dependente das anteriores. Em termos das matrizes originais, isso significa que A_1,A_2,A_3 são linearmente independentes e A_4 é combinação linear de A_1,A_2,A_3. Portanto uma base do subespaço gerado pelas quatro matrizes pode ser \{A_1,A_2,A_3\}.
Vou também encontrar explicitamente a relação que expressa A_4 em função das outras (isso é útil na prova para mostrar dependência): queremos coeficientes \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=v_4.
Escrevendo as equações por componentes:
\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=0,\\[4pt] 0\cdot\alpha- \beta+\gamma=1,\\[4pt] \alpha+\beta+\gamma=0,\\[4pt] 0\cdot\alpha+0\cdot\beta+\gamma=0. \end{cases}
Da última equação vem \gamma=0\]. Com \(\gamma=0, a segunda dá -\beta=1\Rightarrow\beta=-1. Então a primeira dá \alpha-1+0=0\Rightarrow\alpha=1. Assim \,v_4=v_1-v_2, ou em termos de matrizes:
A_4 = A_1 - A_2.
Isso confirma que A_4 é dependente das outras duas (na verdade das duas primeiras), reforçando que \{A_1,A_2,A_3\} gera todo S_8.]

Passo 6

Verificação final e conclusão pedagógica rápida: mostramos por eliminação que as colunas 1,2,3 são pivôs (logo independentes) e que a quarta coluna é combinação linear das três primeiras. Portanto \{A_1,A_2,A_3\} é um conjunto linearmente independente que gera o mesmo espaço que \{A_1,A_2,A_3,A_4\}, então é uma base de S_8. O número de vetores na base é 3, logo \dim S_8=3.

Resposta

\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\right\}]

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