Questão-02. Encontre uma base para cada subespaço vetorial S_{8}=\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)\right]
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes 2\times2 e pede para encontrar uma base do subespaço S_{8} gerado por elas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
O que se pede: uma base para o subespaço S_{8}=\text{span}\{A_1,A_2,A_3,A_4\}. Isto significa encontrar um subconjunto dessas matrizes que seja linearmente independente e que gere o mesmo subespaço.]
Passo 2
Estratégia útil e simples: transformar cada matriz em um vetor em \mathbb{R}^4 (ou seja, coordenatizar as matrizes) e aplicar eliminação de Gauss para descobrir quais colunas são linearmente independentes. Vou explicar por que isso funciona: o espaço das matrizes 2\times2 tem dimensão 4, então qualquer conjunto de matrizes pode ser tratado como vetores em \mathbb{R}^4 escolhendo uma ordem fixa das entradas. Linearidade e dependência são preservadas por essa identificação.
Vou usar a ordem das entradas (m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}). Então cada matriz \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vira o vetor (a,b,c,d).
Passo 3
Converter as quatro matrizes em vetores usando a ordem escolhida:
Vou aplicar eliminação por linhas (Gauss) para encontrar o posto e as colunas-pivô de M. Os pivôs indicarão quais colunas originais são linearmente independentes.
Esta forma mostra claramente pivôs nas colunas 1, 2 e 3; a coluna 4 não tem pivô, logo é combinação linear das três primeiras.]
Passo 5
Interpretação do resultado da eliminação: as colunas [1,2,3) de M são linearmente independentes e a coluna 4 é dependente das anteriores. Em termos das matrizes originais, isso significa que A_1,A_2,A_3 são linearmente independentes e A_4 é combinação linear de A_1,A_2,A_3. Portanto uma base do subespaço gerado pelas quatro matrizes pode ser \{A_1,A_2,A_3\}.
Vou também encontrar explicitamente a relação que expressa A_4 em função das outras (isso é útil na prova para mostrar dependência): queremos coeficientes \alpha,\beta,\gamma tais que
Da última equação vem \gamma=0\]. Com \(\gamma=0, a segunda dá -\beta=1\Rightarrow\beta=-1. Então a primeira dá \alpha-1+0=0\Rightarrow\alpha=1. Assim \,v_4=v_1-v_2, ou em termos de matrizes:
A_4 = A_1 - A_2.
Isso confirma que A_4 é dependente das outras duas (na verdade das duas primeiras), reforçando que \{A_1,A_2,A_3\} gera todo S_8.]
Passo 6
Verificação final e conclusão pedagógica rápida: mostramos por eliminação que as colunas 1,2,3 são pivôs (logo independentes) e que a quarta coluna é combinação linear das três primeiras. Portanto \{A_1,A_2,A_3\} é um conjunto linearmente independente que gera o mesmo espaço que \{A_1,A_2,A_3,A_4\}, então é uma base de S_8. O número de vetores na base é 3, logo \dim S_8=3.