Questão-02. Encontre uma base para cada subespaço vetorial
S_{7}=\left\{p_{1}(t)=x^{2}+1 ; p_{2}(t)=x-1 ; p_{3}(t)=x^{2}+x+1\right\} \subset P_{2}(t, \mathbb{R})

Passo 1

O enunciado dá três polinômios em P_{2}(t,\mathbb{R}) e pede uma base para o subespaço gerado por eles. Os dados são:
  • p_{1}(t)=x^{2}+1.
  • p_{2}(t)=x-1.
  • p_{3}(t)=x^{2}+x+1.
O que se pede explicitamente:
  • Encontrar uma base para o subespaço S_{7}=\{p_{1},p_{2},p_{3}\}, ou seja, um subconjunto de S_{7} que seja linearmente independente e que gere S_{7}.

Passo 2

O que significa “base” aqui? Vou explicar passo a passo, com calma.
  • Um conjunto de vetores (aqui: polinômios) é uma base de um subespaço se (i) gera o subespaço (qualquer vetor do subespaço é combinação linear desses vetores) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros).
  • Para polinômios em P_{2} é comum trabalhar com as coordenadas na base canônica \{1,x,x^{2}\}. Isso transforma cada polinômio numa coluna de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}), onde a_{0} é o termo constante, a_{1} o coeficiente de x e a_{2} o coeficiente de x^{2}.
  • Método prático: escrever os polinômios como vetores de coeficientes e aplicar eliminação (redução de linha) para ver quais colunas são linearmente independentes. As colunas pivô correspondem aos polinômios que ficam na base.

Passo 3

Vou representar cada polinômio pelo vetor de coeficientes na ordem \{1,x,x^{2}\}:
  • Para p_{1}(t)=x^{2}+1 os coeficientes são a_{0}=1, a_{1}=0, a_{2}=1. Logo o vetor é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para p_{2}(t)=x-1 os coeficientes são a_{0}=-1, a_{1}=1, a_{2}=0. Logo o vetor é \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para p_{3}(t)=x^{2}+x+1 os coeficientes são a_{0}=1, a_{1}=1, a_{2}=1. Logo o vetor é \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Coloco esses vetores como colunas de uma matriz A:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
onde a coluna 1 é p_{1}, coluna 2 é p_{2} e coluna 3 é p_{3}.]

Passo 4

Agora vou fazer eliminação de Gauss (operações elementares em linhas) para ver o posto da matriz e identificar colunas pivô. Cada passo farei explicando o porquê das operações.
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1} (subtrair a linha 1 da linha 3) para eliminar o primeiro elemento na linha 3:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Explicação: objetivo é criar zeros abaixo do pivô da primeira coluna (pivô em posição (1,1) igual a 1).
Agora faço R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2} (para eliminar o 1 na posição (3,2)):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
Em seguida multiplico R_{3} por -1 para tornar o pivô positivo: R_{3}\leftarrow -R_{3}:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Agora uso o pivô em (3,3) para zerar acima: R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3} e R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3}:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3} (0,\;1,\;0).
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3} (1,\;-1,\;0).
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Finalmente, uso o pivô em (2,2) para zerar o -1 em (1,2): R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2}, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Essa é a matriz identidade I_{3}. O que isso significa? Todas as três colunas são linearmente independentes e o posto é 3. Em termos de subespaço: as três colunas geram um espaço de dimensão 3.]

Passo 5

Interpretação final e conclusão didática:
  • P_{2}(t,\mathbb{R}) tem dimensão 3. Encontramos que as três colunas (os três polinômios) são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de um subespaço de dimensão 3.
  • Como o subespaço gerado por p_{1},p_{2},p_{3} tem dimensão 3 e P_{2} também tem dimensão 3, concluímos que S_{7} é todo P_{2}(t,\mathbb{R}) e \{p_{1},p_{2},p_{3}\} é uma base de S_{7}.
Observação prática para prova: bastaria escrever os vetores de coeficientes e notar que a redução leva à identidade, daí cada coluna é independente. Sempre verifique pivôs por coluna — as colunas correspondentes aos pivôs formam a base.

Resposta

\{\,x^{2}+1,\;x-1,\;x^{2}+x+1\,\}

Exercícios relacionados