Questão no 03-(\mathbf{2 , 0} pontos ) Uma carga positiva Q está distribuída uniformemente em uma linha fina, não condutora e de comprimento L. Determine o módulo do campo elétrico produzido num ponto P, situado na mediatriz da barra, a uma distância R.

Passo 1

O enunciado descreve uma barra não condutora de comprimento L com carga positiva total Q uniformemente distribuída. O ponto P situa-se na mediatriz da barra, a uma distância R do seu centro. Queremos o módulo do campo elétrico em P. Vamos usar distribuição contínua de carga, a lei de Coulomb e a simetria do sistema.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que a barra fica ao longo do eixo x, de -L/2 a +L/2, e P está em (0,R). A densidade linear de carga é
\lambda = \frac{Q}{L},
e um elemento infinitesimal de carga vale
\mathrm{d}Q = \lambda \,\mathrm{d}x.

Passo 3

Pela lei de Coulomb, o campo gerado por \mathrm{d}Q em P é
\mathrm{d}\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}Q}{r^2}\,\hat{r},
onde r = \sqrt{x^2+R^2}. Pelo desenho, as componentes horizontais se cancelam por simetria, restando só a vertical, no sentido +\hat y. Então
\mathrm{d}E_y = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\lambda\,\mathrm{d}x}{(x^2+R^2)} \;\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\lambda\,\frac{R\,\mathrm{d}x}{(x^2+R^2)^{3/2}}.

Passo 4

Somando de x=-L/2 a x=+L/2 e usando simetria em torno de zero, temos
E = E_y = 2 \int_{0}^{L/2} \mathrm{d}E_y = 2\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\lambda\,R \int_{0}^{L/2} \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+R^2)^{3/2}}.

Passo 5

Usamos o resultado
\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}},
com a=R. Portanto
\int_{0}^{L/2}\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+R^2)^{3/2}} = \frac{(L/2)}{R^2\sqrt{(L/2)^2+R^2}} = \frac{L}{2\,R^2\sqrt{R^2+\tfrac{L^2}{4}}}.

Passo 6

Substituindo na expressão de E e lembrando que \lambda L=Q, obtém-se
E = 2\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\lambda\,R \frac{L}{2\,R^2\sqrt{R^2+\tfrac{L^2}{4}}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\lambda L}{R\sqrt{R^2+\tfrac{L^2}{4}}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R\sqrt{R^2+\tfrac{L^2}{4}}}.

Resposta

E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R\sqrt{R^2+\tfrac{L^2}{4}}}.

Exercícios relacionados