QUESTÃO 03: Os nanocientistas encontraram maneiras de criar e utilizar estruturas contendo apenas algumas moléculas. Contudo, orientar as moléculas segundo determinada maneira para formar tais estruturas pode ser difícil. Calcule a entropia de uma nanoestrutura sólida composta por 64 moléculas na qual elas (a) estão alinhadas na mesma direção e (b) estão em uma de quatro orientações com a mesma energia. [Dados: \mathbf{k}=\mathbf{1 , 3 8} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{2 3}} \mathbf{J ~ K}^{-\mathbf{1}} ]

Passo 1

O enunciado pede a entropia de uma nanoestrutura sólida com N=64 moléculas em dois cenários: (a) todas alinhadas numa única orientação e (b) cada molécula podendo assumir uma de quatro orientações com mesma energia. O conceito físico é a entropia de Boltzmann
S = k \ln W
onde W é o número de microestados compatíveis com a macroconfiguração e k é a constante de Boltzmann.

Passo 2

Caso (a): todas as moléculas estão forçadas à mesma orientação, logo só existe um microestado possível. Assim
W = 1
e
S = k \ln 1 = 0.

Passo 3

Caso (b): cada molécula pode assumir independentemente 4 orientações, então o número total de microestados é
W = 4^{64}.
Logo
S = k \ln\bigl(4^{64}\bigr) = 64\,k\,\ln 4.

Passo 4

Para valor numérico usamos \ln 4 = 2\ln 2 \approx 1,3863 e k = 1,38\times10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}:
64 \ln 4 \approx 64 \times 1,3863 = 88,72,
S \approx 1,38\times10^{-23}\times88,72 \approx 1,22\times10^{-21}\,\mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

(a) S = 0\;\mathrm{J\,K^{-1}}
(b) S = 64\,k\,\ln 4 \approx 1,22\times10^{-21}\;\mathrm{J\,K^{-1}}

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