Questão 03 (03 pontos).
Um condicionador de ar de Carnot pega energia da energia térmica de uma sala a T_{1}= (Dois últimos números do seu código) { }^{\circ} \mathrm{F} e a transfere para um ambiente externo, que está a (Três últimos { }^{250^{\circ}} números do seu código) { }^{\circ} \mathrm{F}. Para cada Joule de energia elétrica necessária para operar o condicionador de ar, quantos Joules de calor serão removidos do quarto?

Passo 1

O enunciado pergunta: para um condicionador de ar ideal (ciclo de Carnot) que retira calor do quarto à temperatura T_1 (dada em {}^{\circ}\mathrm{F}) e rejeita calor ao ambiente externo à temperatura T_2 (dada em {}^{\circ}\mathrm{F}), quantos Joules de calor são removidos do quarto para cada Joule de energia elétrica consumida?
Informações fornecidas no enunciado:
  • Temperatura do quarto: T_1 em {}^{\circ}\mathrm{F} (o enunciado usa um marcador dependente do código do estudante — o valor numérico específico NÃO foi fornecido aqui).
  • Temperatura externa: T_2 em {}^{\circ}\mathrm{F} (também NÃO foi fornecido o valor numérico aqui).
Observação importante: sem os valores numéricos de T_1 e T_2 não é possível calcular um número final. Então vou:
  • deduzir a fórmula geral (passo a passo) que dá a quantidade de Joules removidos por Joule de trabalho para um refrigerador de Carnot;
  • mostrar como converter as temperaturas em {}^{\circ}\mathrm{F} para a escala absoluta e;
  • simplificar a expressão para que, quando você inserir os dois números (os dois últimos e os três últimos do seu código), consiga calcular rapidamente o resultado.

Passo 2

Conceito físico e definição que vamos usar: coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador.
  • O COP de um refrigerador é definido como a razão entre o calor extraído do reservatório frio e o trabalho aplicado:
\mathrm{COP} \equiv \frac{Q_{c}}{W},
onde:
  • Q_{c} é a energia térmica retirada do quarto (reservatório frio),
  • W é o trabalho (energia elétrica) fornecido ao condicionador.
Para um ciclo de Carnot reversível operando entre temperaturas absolutas T_{c} (fria) e T_{h} (quente) vale a relação (resultado padrão da termodinâmica):
\frac{Q_{h}}{Q_{c}}=\frac{T_{h}}{T_{c}}.
Também vale a conservação da energia para o ciclo:
W = Q_{h}-Q_{c}.
Daqui obtemos a expressão do COP de Carnot. Substituindo Q_h = Q_c \dfrac{T_h}{T_c} em W:
W = Q_{c}\left(\frac{T_{h}}{T_{c}}-1\right)=Q_{c}\left(\frac{T_{h}-T_{c}}{T_{c}}\right).
Rearranjando para \dfrac{Q_c}{W}:
\frac{Q_{c}}{W}=\frac{T_{c}}{T_{h}-T_{c}}.
Explicação simples: o COP aumenta quando a diferença de temperatura T_h-T_c é pequena e é expresso em temperaturas absolutas (Kelvin).

Passo 3

Conversão de {}^{\circ}\mathrm{F} para Kelvin (porque a fórmula de Carnot exige temperatura absoluta).
A sequência é: {}^{\circ}\mathrm{F} \to {}^{\circ}\mathrm{C} \to \mathrm{K}. Usamos:
T_{\mathrm{K}}=(T_{^\circ\mathrm{F}}-32)\cdot\frac{5}{9}+273{,}15.
Outra forma prática (usando a escala Rankine) é:
T_{\mathrm{K}}=(T_{^\circ\mathrm{F}}+459{,}67)\cdot\frac{5}{9}.
Ambas são equivalentes; a segunda é útil porque, ao formar a diferença T_{h}-T_{c} em Kelvin, o fator \tfrac{5}{9} se cancela nos quocientes que surgem na fórmula de COP.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Carnot com as conversões: seja T_{1,\mathrm{F}} a temperatura do quarto em {}^{\circ}\mathrm{F} e T_{2,\mathrm{F}} a temperatura externa em {}^{\circ}\mathrm{F}. As temperaturas absolutas são
T_{c}=T_{1,\mathrm{K}}=(T_{1,\mathrm{F}}+459{,}67)\cdot\frac{5}{9}, \qquad T_{h}=T_{2,\mathrm{K}}=(T_{2,\mathrm{F}}+459{,}67)\cdot\frac{5}{9}.
Substituindo na fórmula do COP de Carnot:
\frac{Q_{c}}{W}=\frac{T_{c}}{T_{h}-T_{c}} = \frac{(T_{1,\mathrm{F}}+459{,}67)\cdot\frac{5}{9}}{\big[(T_{2,\mathrm{F}}+459{,}67)-(T_{1,\mathrm{F}}+459{,}67)\big]\cdot\frac{5}{9}}.
O fator \tfrac{5}{9} cancela e os +459{,}67 também se simplificam na diferença do denominador, resultando numa forma muito simples em termos de temperaturas em {}^{\circ}\mathrm{F}:
\frac{Q_{c}}{W}=\frac{T_{1,\mathrm{F}}+459{,}67}{T_{2,\mathrm{F}}-T_{1,\mathrm{F}}}.
Interpretação: para cada Joule de trabalho W aplicado, o calor retirado do quarto Q_c (em Joules) é dado por essa razão. Note que essa razão é adimensional (J por J).

Passo 5

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): suponha T_{1,\mathrm{F}}=72^{\circ}\mathrm{F} e T_{2,\mathrm{F}}=95^{\circ}\mathrm{F}. Então
\frac{Q_{c}}{W}=\frac{72+459{,}67}{95-72}=\frac{531{,}67}{23}\approx23{,}12.
Isso quer dizer que, num refrigerador de Carnot ideal nessas temperaturas, cada 1\\ \mathrm{J} de trabalho retiraria cerca de 23{,}12\\ \mathrm{J} de calor do quarto (valor teórico ideal — na prática dispositivos reais têm COPs menores).

Resposta

\frac{Q_{c}}{W}=\frac{T_{1,\mathrm{F}}+459{,}67}{T_{2,\mathrm{F}}-T_{1,\mathrm{F}}}

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